右の図のように、2点A(4, 3), B(4, -4)と直線 $l: y = 3x$ がある。点Aを通り、直線 $l$ に平行な直線を $m$ とする。ただし、点Oは原点とする。 (i) $\triangle OAB$ の面積を求めよ。 (ii) 直線 $m$ の式を求めよ。 (iii) 直線 $m$ 上に $y$ 座標が負である点Cを、$\triangle OAB$ と $\triangle OAC$ の面積が等しくなるようにとる。点Cの座標を求めよ。

1. 問題の内容

右の図のように、2点A(4, 3), B(4, -4)と直線 $l: y = 3x$ がある。点Aを通り、直線 $l$ に平行な直線を $m$ とする。ただし、点Oは原点とする。

(i) $\triangle OAB$ の面積を求めよ。

(ii) 直線 $m$ の式を求めよ。

(iii) 直線 $m$ 上に $y$ 座標が負である点Cを、$\triangle OAB$ と $\triangle OAC$ の面積が等しくなるようにとる。点Cの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) $\triangle OAB$ の面積を求める。

AとBのx座標は等しいので、線分ABはy軸に平行である。よってABを底辺とすると、$\triangle OAB$の高さは原点Oから線分ABまでの距離、つまり点A,Bのx座標である4となる。ABの長さはAとBのy座標の差の絶対値なので、

$AB = |3 - (-4)| = |3 + 4| = 7$

$\triangle OAB$ の面積は、

$\frac{1}{2} \times AB \times 高さ = \frac{1}{2} \times 7 \times 4 = 14$

(ii) 直線 $m$ の式を求める。

直線 $m$ は直線 $l: y = 3x$ に平行なので、傾きは3である。

よって、$y = 3x + b$ とおける。

直線 $m$ は点A(4, 3)を通るので、これを代入すると、

$3 = 3 \times 4 + b$

$3 = 12 + b$

$b = 3 - 12 = -9$

したがって、直線 $m$ の式は、

$y = 3x - 9$

(iii) 点Cの座標を求める。

$\triangle OAB$ と $\triangle OAC$ の面積が等しいということは、底辺をそれぞれABとACとすると、高さが等しいことになる。点Oから直線ABまでの距離は4であり、点Oから直線ACまでの距離も4である。

2つの三角形の面積が等しいとき、底辺の長さが等しければ良いので、$AB = AC = 7$ であれば良い。

点Cは直線 $m$ 上にあるので、$C(x, 3x - 9)$ とおける。

$AC = \sqrt{(x - 4)^2 + (3x - 9 - 3)^2} = \sqrt{(x - 4)^2 + (3x - 12)^2} = 7$

$(x - 4)^2 + (3x - 12)^2 = 49$

$x^2 - 8x + 16 + 9x^2 - 72x + 144 = 49$

$10x^2 - 80x + 160 = 49$

$10x^2 - 80x + 111 = 0$

線分ABと線分ACの長さが等しいことは、点Cのy座標が-4の時を考えることができる。点Cは直線m上にあるから、$y = 3x - 9$に$y = -4$を代入すると

$-4 = 3x - 9$

$3x = 5$

$x = \frac{5}{3}$

よって、$C(\frac{5}{3}, -4)$

3. 最終的な答え

(i) 14

(ii) $y = 3x - 9$

(iii) $(\frac{5}{3}, -4)$