円Oが三角形ABCに内接しており、各辺との接点をP, Q, R, Sとする。∠A = 70°, ∠ABO = 30°, ∠ACO = 25°であるとき、点Pを含む弧RQの長さと点Pを含まない弧RSの長さの比を最も簡単な整数比で求めよ。

1. 問題の内容

円Oが三角形ABCに内接しており、各辺との接点をP, Q, R, Sとする。∠A = 70°, ∠ABO = 30°, ∠ACO = 25°であるとき、点Pを含む弧RQの長さと点Pを含まない弧RSの長さの比を最も簡単な整数比で求めよ。

2. 解き方の手順

まず、∠Bと∠Cを求める。

∠B = ∠ABO + ∠CBO = 30° + ∠CBO

∠C = ∠ACO + ∠BCO = 25° + ∠BCO

三角形の内角の和は180°なので、

∠A + ∠B + ∠C = 180°

70° + (30° + ∠CBO) + (25° + ∠BCO) = 180°

125° + ∠CBO + ∠BCO = 180°

∠CBO + ∠BCO = 55°

次に、円の中心Oから各接点に線を引くと、半径となり、接線と半径は直交する。

したがって、∠OQA = 90°かつ∠OPA = 90°。

四角形AQOPにおいて、∠A + ∠OQA + ∠OPA + ∠QOP = 360°なので、

70° + 90° + 90° + ∠QOP = 360°

∠QOP = 110°

∠BOCを求める。

∠OBC = ∠ABO = 30°

∠OCB = ∠ACO = 25°

三角形OBCにおいて、∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180°なので、

∠BOC + 30° + 25° = 180°

∠BOC = 125°

したがって、∠BOS + ∠COR = 125°

点Pを含む弧RQの中心角は、360° - ∠ROQである。

∠ROQ = 360° - (∠QOP + ∠POS + ∠SOR + ∠ROC)

角OQAと角OPAから，OQはABと直交、OPはACと直交する。

同様に，OSはOBと直交、ORはOCと直交する。

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$70^\circ + (30^\circ + \angle CBO) + (25^\circ + \angle BCO) = 180^\circ$

$\angle CBO + \angle BCO = 180^\circ - 70^\circ - 30^\circ - 25^\circ = 55^\circ$

$\angle BOC = 180^\circ - \angle OBC - \angle OCB = 180^\circ - 30^\circ - 25^\circ = 125^\circ$

∠QOP = 360° - 90° - 90° - 70° = 110°

∠QOB = 90° - 30° = 60°

∠POC = 90° - 25° = 65°

点Pを含む弧RQの中心角 = 360° - ∠ROQとする。

$\angle ROQ = 360^\circ - (110^\circ + 125^\circ) = 360^\circ - 235^\circ = 125^\circ$

∠BOS + ∠COR = ∠BOC

弧RSに対応する中心角 = ∠ROS = 360° - (∠ROP + ∠POQ + ∠QOS) = 360 - 110 - 90 - 90

$\angle ROS = 360 - (\angle POR + \angle ROQ + \angle QOS)$

$\angle ROS + \angle BOC = 360 - 110 = 250$

$\angle ROS = 360 - \angle POS - 110 - 90 -90$

中心角と弧の長さが比例することを用いる

$\angle QOR + \angle ROS = 360 - \angle POS -125$

∠ROS = 180 -30 -25

弧RQの中心角$\angle ROQ = 115$

弧RSの中心角$\angle ROS = 180-55=125$

したがって、RQ:RS = (360- 125) : 125

∠BOC = 125°

弧RS = 360-110

$弧RQ : 弧RS = \angle ROQ : \angle ROS = 115:125 = 23: 25$

3. 最終的な答え

23:25