問題は、関数 $y=x^2$ のグラフ上の2点A(-2, a), B(3, b) に関するものです。 (1) aとbの値を求める。 (2) 2点A, Bを通る直線の式を求める。 (3) 三角形AOBの面積を求める。 (4) 点Bを通り、y軸との交点をPとする直線 $y = mx + n$ について、三角形OBPの面積が三角形AOBの面積の1/2倍となるときのmとnの値を求める。

1. 問題の内容

問題は、関数 $y=x^2$ のグラフ上の2点A(-2, a), B(3, b) に関するものです。

(1) aとbの値を求める。

(2) 2点A, Bを通る直線の式を求める。

(3) 三角形AOBの面積を求める。

(4) 点Bを通り、y軸との交点をPとする直線 $y = mx + n$ について、三角形OBPの面積が三角形AOBの面積の1/2倍となるときのmとnの値を求める。

2. 解き方の手順

(1) aとbの値を求める。

点A(-2, a)は $y = x^2$ 上の点なので、$a = (-2)^2 = 4$

点B(3, b)は $y = x^2$ 上の点なので、$b = 3^2 = 9$

(2) 2点A, Bを通る直線の式を求める。

A(-2, 4), B(3, 9) を通る直線の式を $y = cx + d$ とします。

2点を通るので、

$4 = -2c + d$

$9 = 3c + d$

2式を引き算すると、$5 = 5c$ となり、$c = 1$

$4 = -2(1) + d$ より $d = 6$

よって、直線の式は $y = x + 6$

(3) 三角形AOBの面積を求める。

直線ABの式は $y = x + 6$。この直線とy軸との交点をCとすると、Cの座標は(0, 6)。

三角形AOBの面積は、三角形AOCの面積と三角形BOCの面積の和で求められます。

三角形AOCの面積は、$\frac{1}{2} \times OC \times |Aのx座標| = \frac{1}{2} \times 6 \times |-2| = \frac{1}{2} \times 6 \times 2 = 6$

三角形BOCの面積は、$\frac{1}{2} \times OC \times Bのx座標 = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9$

三角形AOBの面積 = 6 + 9 = 15

(4) 点Bを通る直線を $y = mx + n$ とする。

この直線が点B(3, 9) を通るので、$9 = 3m + n$

y軸との交点をPとすると、Pの座標は(0, n)。

三角形OBPの面積は $\frac{1}{2} \times OP \times |Bのx座標| = \frac{1}{2} \times |n| \times 3 = \frac{3}{2}|n|$

三角形OBPの面積が三角形AOBの面積の1/2なので、 $\frac{3}{2}|n| = \frac{1}{2} \times 15$

$\frac{3}{2}|n| = \frac{15}{2}$

$|n| = 5$

$n = \pm 5$

$9 = 3m + n$ に代入して、$n = 5$ のとき、$9 = 3m + 5$ より $3m = 4$ で $m = \frac{4}{3}$

$n = -5$ のとき、$9 = 3m - 5$ より $3m = 14$ で $m = \frac{14}{3}$

問題文に「m,nの値を求めよ」と書いてあるので、1組だけを想定していると思われる。

$y=mx+n$ がBを通る、という以外に条件はないので、どちらも正解。

3. 最終的な答え

(1) $a = 4, b = 9$

(2) $y = x + 6$

(3) 15

(4) $m = \frac{4}{3}, n = 5$ または $m = \frac{14}{3}, n = -5$