直線 $ \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} $ を含み、点 $(2, -1, 0)$ を通る平面の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $\begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ を含み、点 $(2, -1, 0)$ を通る平面の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

平面上の点を $(x, y, z)$ とします。

平面上の任意の点は、与えられた直線上の点と与えられた点 $(2, -1, 0)$ を用いて表せるはずです。

直線上の任意の点は $\begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -3+t \\ 0 \end{pmatrix}$ と表せます。

平面上の任意の点を $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ とします。

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -3+t \\ 0 \end{pmatrix} + s \left( \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ -3+t \\ 0 \end{pmatrix} \right)$

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -3+t \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \\ 2-t \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2s \\ -3+t+2s-ts \\ 0 \end{pmatrix}$

したがって、$x = 2s$, $y = -3+t+2s-ts$, $z = 0$ となります。

$x = 2s$ より、$s = \frac{x}{2}$ です。

$z = 0$ は平面が $z=0$ であることを意味します。

$y = -3+t+2s-ts$ に $s = \frac{x}{2}$ を代入すると、

$y = -3 + t + x - tx/2$

$y + 3 - x = t(1 - x/2)$

$t = \frac{y+3-x}{1-x/2} = \frac{2(y+3-x)}{2-x}$

この式は、直線上のすべての点が平面上にあるための条件を表しています。特に制限はなく、$z=0$であれば、すべての点が指定された平面上にあります。

よって、平面の方程式は $z = 0$ です。

3. 最終的な答え

$z = 0$