座標平面上の3点A(-1,3), B(4,5), C(3,1)が与えられたとき、以下の問いに答えます。 (1) 線分ABの長さを求めます。 (2) 線分ABを5:3の比に内分する点Dの座標を求めます。 (3) y軸上にあり、点Cとの距離が5であるような点Pの座標を求めます。 (4) 三角形ABCの重心Gの座標を求めます。

1. 問題の内容

座標平面上の3点A(-1,3), B(4,5), C(3,1)が与えられたとき、以下の問いに答えます。

(1) 線分ABの長さを求めます。

(2) 線分ABを5:3の比に内分する点Dの座標を求めます。

(3) y軸上にあり、点Cとの距離が5であるような点Pの座標を求めます。

(4) 三角形ABCの重心Gの座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 線分ABの長さは、2点間の距離の公式を用いて計算します。

$AB = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$

(2) 線分ABを5:3に内分する点Dの座標は、内分点の公式を用いて計算します。

$D = (\frac{3A + 5B}{5+3}) = (\frac{3(-1) + 5(4)}{8}, \frac{3(3) + 5(5)}{8}) = (\frac{-3 + 20}{8}, \frac{9 + 25}{8}) = (\frac{17}{8}, \frac{34}{8}) = (\frac{17}{8}, \frac{17}{4})$

(3) y軸上の点はx座標が0なので、点Pの座標を(0,y)とおきます。点C(3,1)との距離が5であることから、

$\sqrt{(3-0)^2 + (1-y)^2} = 5$

$(3-0)^2 + (1-y)^2 = 25$

$9 + (1-y)^2 = 25$

$(1-y)^2 = 16$

$1-y = \pm 4$

$y = 1 \mp 4$

$y = 5, -3$

よって、点Pの座標は(0,5)または(0,-3)です。

(4) 三角形ABCの重心Gの座標は、各頂点の座標の平均として計算します。

$G = (\frac{A_x + B_x + C_x}{3}, \frac{A_y + B_y + C_y}{3}) = (\frac{-1 + 4 + 3}{3}, \frac{3 + 5 + 1}{3}) = (\frac{6}{3}, \frac{9}{3}) = (2, 3)$

3. 最終的な答え

(1) 線分ABの長さ: $\sqrt{29}$

(2) 点Dの座標: $(\frac{17}{8}, \frac{17}{4})$

(3) 点Pの座標: (0, 5), (0, -3)

(4) 点Gの座標: (2, 3)