$90^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{1}{7}$ である。このとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$90^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{1}{7}$ である。このとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ という三角関数の恒等式を利用して $\cos \theta$ を求める。

$\cos \theta$ の符号は、$90^\circ \le \theta \le 180^\circ$ より負となることに注意する。

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を利用して $\tan \theta$ を求める。

まず、$\cos^2 \theta$ を求める。

$$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \left(\frac{1}{7}\right)^2 = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}$$

次に、$\cos \theta$ を求める。$90^\circ \le \theta \le 180^\circ$ なので、$\cos \theta < 0$ である。

$$\cos \theta = -\sqrt{\frac{48}{49}} = -\frac{\sqrt{48}}{7} = -\frac{\sqrt{16 \times 3}}{7} = -\frac{4\sqrt{3}}{7}$$

最後に、$\tan \theta$ を求める。

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{1}{7}}{-\frac{4\sqrt{3}}{7}} = \frac{1}{7} \times \left(-\frac{7}{4\sqrt{3}}\right) = -\frac{1}{4\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{12}$$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = -\frac{4\sqrt{3}}{7}$

$\tan \theta = -\frac{\sqrt{3}}{12}$