3次元ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ が与えられている。 (1) $\vec{a} = (1, 2, 0)$ の長さ $|\vec{a}|$ を求めよ。 (2) $\vec{b}$ の第3成分が0であるとき、$\vec{b} = (b_1, b_2, 0)$ として、$\vec{a} \times \vec{b}$ を $b_1$ と $b_2$ で表せ。 (3) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が作る平行四辺形の面積 $S$ が2であり、$\vec{a} \times \vec{b}$ が非負ベクトルであるとき、$\vec{a} \times \vec{b}$ を求めよ。 (4) $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ が作る平行六面体の体積 $V$ が6であり、$\vec{c}$ が非負ベクトルであり、$\vec{c}$ から $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が張る平面へ下ろした垂線の足が $(5, 4, 0)$ であるとき、$\vec{c}$ を求めよ。

## 問題3

1. 問題の内容

3次元ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ が与えられている。

(1) $\vec{a} = (1, 2, 0)$ の長さ $|\vec{a}|$ を求めよ。

(2) $\vec{b}$ の第3成分が0であるとき、$\vec{b} = (b_1, b_2, 0)$ として、$\vec{a} \times \vec{b}$ を $b_1$ と $b_2$ で表せ。

(3) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が作る平行四辺形の面積 $S$ が2であり、$\vec{a} \times \vec{b}$ が非負ベクトルであるとき、$\vec{a} \times \vec{b}$ を求めよ。

(4) $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ が作る平行六面体の体積 $V$ が6であり、$\vec{c}$ が非負ベクトルであり、$\vec{c}$ から $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が張る平面へ下ろした垂線の足が $(5, 4, 0)$ であるとき、$\vec{c}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ベクトルの長さの定義から、

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{5}$

(2) 外積の定義から、

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ b_1 & b_2 & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, b_2 - 2b_1)$

(3) 平行四辺形の面積は外積の絶対値に等しいから、

$|\vec{a} \times \vec{b}| = |b_2 - 2b_1| = 2$

また、$\vec{a} \times \vec{b}$ が非負ベクトルであるから、各成分は0以上。この場合はz成分のみなので、$b_2 - 2b_1 \ge 0$

したがって、$b_2 - 2b_1 = 2$

よって、$\vec{a} \times \vec{b} = (0, 0, 2)$

(4) 平行六面体の体積はスカラー三重積の絶対値に等しいから、

$V = |\vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})| = 6$

$\vec{a} \times \vec{b} = (0, 0, 2)$ であり、$\vec{c}$ から $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が張る平面へ下ろした垂線の足が $(5, 4, 0)$ であることから、$\vec{c} = (5, 4, z)$ と置ける。なぜなら$\vec{a}$と$\vec{b}$が張る平面の方程式は$z=0$であり、$\vec{c}$からこの平面へ下ろした垂線の足は$(5,4,0)$だから。

したがって、

$|(5, 4, z) \cdot (0, 0, 2)| = |2z| = 6$

$|z| = 3$

よって、$z = \pm 3$

$\vec{c}$ が非負ベクトルであるから、$z \ge 0$

したがって、$z = 3$

よって、$\vec{c} = (5, 4, 3)$

3. 最終的な答え

(1) $|\vec{a}| = \sqrt{5}$

(2) $\vec{a} \times \vec{b} = (0, 0, b_2 - 2b_1)$

(3) $\vec{a} \times \vec{b} = (0, 0, 2)$

(4) $\vec{c} = (5, 4, 3)$

## 問題4

1. 問題の内容

2つの直線 $l_1: x = \frac{y}{2} = \frac{z-3}{-1}$ と $l_2: \frac{x+2}{2} = \frac{y-1}{3} = \frac{z}{-1}$ について、

(1) 2直線の位置関係（ねじれの位置、交わる、平行で一致しない、一致する）を答えよ。理由も記述せよ。

(2) (1) で、交わる場合は交点の座標を、その他の場合は2直線間の最小距離を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

直線 $l_1$ の方向ベクトルは $\vec{v_1} = (1, 2, -1)$

直線 $l_2$ の方向ベクトルは $\vec{v_2} = (2, 3, -1)$

$\vec{v_1}$ と $\vec{v_2}$ は平行ではないので、2直線は平行ではない。

直線 $l_1$ 上の点 $A(0, 0, 3)$

直線 $l_2$ 上の点 $B(-2, 1, 0)$

$\vec{AB} = (-2, 1, -3)$

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = (1, -1, -1)$

$\vec{AB} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (-2)(1) + (1)(-1) + (-3)(-1) = -2 - 1 + 3 = 0$

$\vec{AB} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = 0$ なので、2直線は同一平面上にある。

平行ではないので、2直線は交わる。

(2)

$l_1$ 上の点を $P(t, 2t, -t+3)$、$l_2$ 上の点を $Q(2s-2, 3s+1, -s)$ とする。

$P$ と $Q$ が一致するとき、

$t = 2s - 2$

$2t = 3s + 1$

$-t + 3 = -s$

3つ目の式から、$t = s + 3$

これを1つ目の式に代入して、$s + 3 = 2s - 2$ より、$s = 5$

したがって、$t = 8$

交点の座標は $P(8, 16, -5)$

3. 最終的な答え

(1) 交わる（理由は上記参照）

(2) 交点の座標: $(8, 16, -5)$

## 問題5

1. 問題の内容

2つの球 $S_1: x^2 + y^2 + z^2 = 9$ と $S_2: x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 4y - 4z = 7$ について、

(1) 2つの球 $S_1, S_2$ の交わりの円を含む平面を $H$ とするとき、$H$ の方程式は $x + 2y - 2z + \beta = 0$ で与えられる。$\beta$ の値を求めよ。

(2) 球 $S_1$ の中心と平面 $H$ との距離 $d$ の値を求めよ。

(3) 2つの球 $S_1, S_2$ の交わりの円の半径 $r$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

平面 $H$ は、$S_2 - S_1 = 0$ で与えられる。

$S_2 - S_1: (x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 4y - 4z) - (x^2 + y^2 + z^2) = 7 - 9$

$2x + 4y - 4z = -2$

$x + 2y - 2z = -1$

$x + 2y - 2z + 1 = 0$

したがって、$\beta = 1$

(2)

球 $S_1$ の中心は $(0, 0, 0)$

平面 $H: x + 2y - 2z + 1 = 0$

点と平面の距離の公式より、

$d = \frac{|1(0) + 2(0) - 2(0) + 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|1|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$

(3)

球 $S_1$ の半径は $R = \sqrt{9} = 3$

球 $S_1$ の中心と平面 $H$ との距離は $d = \frac{1}{3}$

三平方の定理より、

$r^2 = R^2 - d^2 = 3^2 - (\frac{1}{3})^2 = 9 - \frac{1}{9} = \frac{81 - 1}{9} = \frac{80}{9}$

$r = \sqrt{\frac{80}{9}} = \frac{\sqrt{80}}{3} = \frac{4\sqrt{5}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\beta = 1$

(2) $d = \frac{1}{3}$

(3) $r = \frac{4\sqrt{5}}{3}$