$90^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{1}{7}$ が与えられています。このとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$90^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{1}{7}$ が与えられています。このとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本的な関係式である $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いて、$\cos \theta$ を求めます。

$\sin \theta = \frac{1}{7}$ を代入すると、

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\left(\frac{1}{7}\right)^2 + \cos^2 \theta = 1

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\frac{1}{49} + \cos^2 \theta = 1

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\cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}

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$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{48}{49}} = \pm \frac{\sqrt{48}}{7} = \pm \frac{4\sqrt{3}}{7}$

ここで、$90^\circ \le \theta \le 180^\circ$ であるため、$\cos \theta \le 0$ です。

したがって、$\cos \theta = -\frac{4\sqrt{3}}{7}$ です。

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を用いて、$\tan \theta$ を求めます。

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\tan \theta = \frac{\frac{1}{7}}{-\frac{4\sqrt{3}}{7}} = \frac{1}{7} \cdot \frac{7}{-4\sqrt{3}} = -\frac{1}{4\sqrt{3}}

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分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{3}$ を掛けます。

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\tan \theta = -\frac{1}{4\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{4 \cdot 3} = -\frac{\sqrt{3}}{12}

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したがって、$\tan \theta = -\frac{\sqrt{3}}{12}$ です。

3. 最終的な答え

$\cos \theta = -\frac{4\sqrt{3}}{7}$

$\tan \theta = -\frac{\sqrt{3}}{12}$