半径 $r$ の円 $C$ に内接する正 $n$ 角形の頂点を中心とする、半径 $r$ の $n$ 個の円 $C_1, C_2, \dots, C_n$ について、以下の問いに答えます。 (1) 円 $C$ 内にある他の円の円周の長さの合計を求めます。 (2) 円 $C_k$ 一つと円 $C$ のみが重なっている面積 $S(n)$ を求めます。 (3) $S(n+1)$ と $S(n)$ の関係式（漸化式）を求めます。 (4) $S(n)$ を原点 $O$ と $O_t$ を結ぶ直線を軸として回転させたときの体積を $V(n)$ とするとき、$V(n)$ の最大、最小の条件を述べます。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に解答します。

1. 問題の内容

半径 $r$ の円 $C$ に内接する正 $n$ 角形の頂点を中心とする、半径 $r$ の $n$ 個の円 $C_1, C_2, \dots, C_n$ について、以下の問いに答えます。

(1) 円 $C$ 内にある他の円の円周の長さの合計を求めます。

(2) 円 $C_k$ 一つと円 $C$ のみが重なっている面積 $S(n)$ を求めます。

(3) $S(n+1)$ と $S(n)$ の関係式（漸化式）を求めます。

(4) $S(n)$ を原点 $O$ と $O_t$ を結ぶ直線を軸として回転させたときの体積を $V(n)$ とするとき、$V(n)$ の最大、最小の条件を述べます。

2. 解き方の手順

(1) 円 $C$ の中心を $O$ とし、$C_i$ の中心を $O_i$ とします。$O O_i = r$ です。

$C$ の円周の長さは $2\pi r$ です。$n$ 個の円 $C_1, C_2, \dots, C_n$ のうち、円 $C$ の外にある円周の長さを求める必要があります。隣接する円 $C_k$ と $C$ の中心角を $2\theta$ とすると、$\sin \theta = \frac{r/2}{r} = \frac{1}{2}$ より、$\theta = \frac{\pi}{6}$ となります。

$C$ の内部にある円周の長さは、$2 \pi r - 2r \times \frac{\pi}{6} \times 2 = 2\pi r (1 - \frac{1}{3}) = \frac{4\pi r}{3}$ です。

したがって、$n$ 個の円の内部にある円周の長さの合計は、$n \times \frac{4\pi r}{3} = \frac{4n\pi r}{3}$です。

(2) 円 $C_k$ と円 $C$ の重なっている部分の面積を $A$ とします。これは弓形の面積の2倍です。

弓形の面積は、$r^2 \left(\theta - \sin\theta \cos\theta \right)$です。$\theta = \frac{\pi}{6}$ のとき、$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$、$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$r^2 \left(\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = r^2 \left(\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right)$ となります。

$S(n)$ は、$n$個の円が重なっている面積なので、$S(n) = 2 r^2 \left(\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right) = r^2\left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$です。

(3) 問題文より、$S(n)$は円 $C_k$ 一つと円 $C$ のみが重なっている面積なので、$n$ に依存しません。

$S(n+1) = S(n) = r^2 (\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2})$となります。

(4) $S(n)$ を原点 $O$ と $O_t$ を結ぶ直線を軸として回転させたときの体積 $V(n)$ を求めます。

$S(n)$ は円弧と直線によって囲まれた領域であるため、回転体は複雑な形状になります。

$S(n)$ は $n$ に依存しないため、$V(n)$ も $n$ に依存しません。

したがって、$V(n)$ は定数であり、最大値と最小値は等しくなります。

具体的な体積を計算するには、積分が必要になりますが、ここでは省略します。

$V(n) = V$ （定数）

$V(n)$の最大、最小の条件は存在せず、定数である。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4n\pi r}{3}$

(2) $r^2\left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

(3) $S(n+1) = S(n) = r^2 (\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2})$

(4) $V(n)$は定数である。