$a$ を正の定数とする。座標平面において、円 $K_1$ は中心が $A(a, 2)$ であり、$x$ 軸および直線 $l: 3x - 4y + 9 = 0$ に接している。 (1) $K_1$ の半径を求めよ。 (2) $a$ の値を求めよ。 (3) $l$ と $x$ 軸の交点を $B$, $K_1$ と $x$ 軸の接点を $C$ とするとき、3点 $A, B, C$ を通る円 $K_2$ の方程式を求めよ。 (4) (3) で求めた $K_2$ と $K_1$ の2つの交点および原点を通る円 $K_3$ の方程式を求めよ。

はい、承知いたしました。与えられた問題を解きます。

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とする。座標平面において、円 $K_1$ は中心が $A(a, 2)$ であり、$x$ 軸および直線 $l: 3x - 4y + 9 = 0$ に接している。

(1) $K_1$ の半径を求めよ。

(2) $a$ の値を求めよ。

(3) $l$ と $x$ 軸の交点を $B$, $K_1$ と $x$ 軸の接点を $C$ とするとき、3点 $A, B, C$ を通る円 $K_2$ の方程式を求めよ。

(4) (3) で求めた $K_2$ と $K_1$ の2つの交点および原点を通る円 $K_3$ の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円 $K_1$ の中心 $A(a, 2)$ から $x$ 軸までの距離は $2$ であるから、$K_1$ の半径は $2$ である。

(2) 円 $K_1$ の半径は $2$ であり、$K_1$ は直線 $l: 3x - 4y + 9 = 0$ に接しているから、中心 $A(a, 2)$ から直線 $l$ までの距離は $2$ である。点と直線の距離の公式より、

$$\frac{|3a - 4(2) + 9|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = 2$$

$$|3a + 1| = 10$$

$3a + 1 = 10$ または $3a + 1 = -10$ である。

$3a = 9$ より $a = 3$ または $3a = -11$ より $a = -\frac{11}{3}$ である。

$a > 0$ より $a = 3$ である。

(3) $l$ と $x$ 軸の交点 $B$ は、$3x + 9 = 0$ より $x = -3$ なので $B(-3, 0)$ である。

$K_1$ と $x$ 軸の接点 $C$ は、$A(3, 2)$ より $C(3, 0)$ である。

3点 $A(3, 2), B(-3, 0), C(3, 0)$ を通る円 $K_2$ の方程式を $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ とおく。

$(-3)^2 + 0^2 - 3l + 0m + n = 0$ より $-3l + n = -9$

$3^2 + 0^2 + 3l + 0m + n = 0$ より $3l + n = -9$

$3^2 + 2^2 + 3l + 2m + n = 0$ より $3l + 2m + n = -13$

$-3l + n = -9$ と $3l + n = -9$ より $n = -9$ かつ $l = 0$ である。

$3(0) + 2m - 9 = -13$ より $2m = -4$ なので $m = -2$ である。

よって、$K_2$ の方程式は $x^2 + y^2 - 2y - 9 = 0$ である。

変形すると $x^2 + (y - 1)^2 = 10$ となる。

(4) $K_1: (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 4$ と $K_2: x^2 + (y - 1)^2 = 10$ の交点を通る円の方程式は

$(x - 3)^2 + (y - 2)^2 - 4 + k(x^2 + (y - 1)^2 - 10) = 0$ と表せる。

これが原点 $(0, 0)$ を通るので、

$9 + 4 - 4 + k(0 + 1 - 10) = 0$

$9 - 9k = 0$ より $k = 1$ である。

よって、$(x - 3)^2 + (y - 2)^2 - 4 + (x^2 + (y - 1)^2 - 10) = 0$

$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 4y + 4 - 4 + x^2 + y^2 - 2y + 1 - 10 = 0$

$2x^2 - 6x + 2y^2 - 6y = 0$

$x^2 - 3x + y^2 - 3y = 0$

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} + \frac{9}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$

よって、$K_3$ の方程式は $x^2 - 3x + y^2 - 3y = 0$ である。

3. 最終的な答え

(1) $2$

(2) $3$

(3) $x^2 + y^2 - 2y - 9 = 0$

(4) $x^2 - 3x + y^2 - 3y = 0$