問題は、斜辺がBCである直角三角形ABCにおいて、$\angle B = 30^\circ$, $AC=1$である。辺AB上に$AD=1$となる点Dを取り、点Dを通るBCに垂直な直線とBCの交点をHとする。このとき、$\angle BCD$, $BD$, $DH$, $\sin 15^\circ$, $\cos 15^\circ$を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、斜辺がBCである直角三角形ABCにおいて、$\angle B = 30^\circ$, $AC=1$である。辺AB上に$AD=1$となる点Dを取り、点Dを通るBCに垂直な直線とBCの交点をHとする。このとき、$\angle BCD$, $BD$, $DH$, $\sin 15^\circ$, $\cos 15^\circ$を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\angle BCD$を求める。

$\triangle ABC$において、$\angle A = 90^\circ$なので、$\angle C = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$である。

$\triangle ADC$は、$AD=AC=1$の二等辺三角形なので、$\angle ADC = \angle ACD$である。

$\angle DAC = 90^\circ - \angle DAB$ である。

また、$\angle ACD + \angle ADC + \angle DAC = 180^\circ$より、$2\angle ACD + \angle DAC = 180^\circ$。

$\angle DAB = 30^\circ$なので、$\angle DAC = \angle BAC = 90^{\circ}$

したがって、$2\angle ACD + \angle A = 180^{\circ} \Rightarrow 2\angle ACD + 90^{\circ} = 180^{\circ}$

$\Rightarrow 2\angle ACD = 90^{\circ} \Rightarrow \angle ACD = 45^{\circ}$.

$\angle BCD = \angle ACB - \angle ACD = 60^\circ - 45^\circ = 15^\circ$

(2) $BD$を求める。

$\triangle ABC$において、$AC=1$なので、$AB = \frac{AC}{\tan{30^\circ}} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}$となる。

$AD=1$より、$BD = AB - AD = \sqrt{3} - 1$

(3) $DH$を求める。

$\triangle DBH$において、$\angle DHB = 90^\circ$なので、$\angle BDH = 90^\circ - \angle DBH = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$となる。

$DH = BD \sin{30^\circ} = (\sqrt{3}-1)\cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$

(4) $\sin 15^\circ$と$\cos 15^\circ$を求める。

$\triangle ABC$において，$AC=1$なので、$BC=\frac{AC}{\sin{30^\circ}} = \frac{1}{1/2} = 2$となる。

$\sin 15^\circ = \frac{DH}{BD}=\frac{(\sqrt{3}-1)/2}{\sqrt{3}-1} = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}}{2}$

$\sin 15^\circ = \frac{AC-AH}{BC} = \frac{AH}{AD} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})/4}{1}$

$\sin 15^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

$\cos 15^\circ = \cos (45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$\angle BCD = 15^\circ$

$BD = \sqrt{3}-1$

$DH = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$

$\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$