点A(4, -2)と点B(-2, 6)を通る直線 $l$ について、以下の3つの問いに答える。 (1) 直線 $l$ の方程式を求める。 (2) 原点Oと直線 $l$ の距離を求める。 (3) 三角形OABの面積を求める。

1. 問題の内容

点A(4, -2)と点B(-2, 6)を通る直線 $l$ について、以下の3つの問いに答える。

(1) 直線 $l$ の方程式を求める。

(2) 原点Oと直線 $l$ の距離を求める。

(3) 三角形OABの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ の方程式を求める。

まず、直線 $l$ の傾き $m$ を求める。

$m = \frac{6 - (-2)}{-2 - 4} = \frac{8}{-6} = -\frac{4}{3}$

次に、点A(4, -2)を通り、傾きが $-\frac{4}{3}$ の直線の方程式を求める。

$y - (-2) = -\frac{4}{3}(x - 4)$

$y + 2 = -\frac{4}{3}x + \frac{16}{3}$

$y = -\frac{4}{3}x + \frac{16}{3} - 2$

$y = -\frac{4}{3}x + \frac{10}{3}$

両辺に3を掛けて整理する。

$3y = -4x + 10$

$4x + 3y - 10 = 0$

(2) 原点Oと直線 $l$ の距離を求める。

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は次の式で求められる。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

原点O(0, 0)と直線 $4x + 3y - 10 = 0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|4(0) + 3(0) - 10|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|-10|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$

(3) 三角形OABの面積を求める。

三角形OABの面積 $S$ は、ベクトル $\vec{OA} = (4, -2)$ と $\vec{OB} = (-2, 6)$ を用いて、

$S = \frac{1}{2}|4 \times 6 - (-2) \times (-2)| = \frac{1}{2}|24 - 4| = \frac{1}{2}|20| = 10$

3. 最終的な答え

(1) 直線 $l$ の方程式: $4x + 3y - 10 = 0$

(2) 原点Oと直線 $l$ の距離: 2

(3) 三角形OABの面積: 10