問題は、正三角形ABCの辺AB上に点Dを取り、線分BDを1辺とする正三角形BDEを作るという設定です。 (1)では、△AEBと△CDBが合同であることを証明する穴埋め問題であり、(2)では、AD:DB = 1:2のとき、△BDEの面積が四角形AEBCの面積の何倍かを求める問題です。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

問題は、正三角形ABCの辺AB上に点Dを取り、線分BDを1辺とする正三角形BDEを作るという設定です。

(1)では、△AEBと△CDBが合同であることを証明する穴埋め問題であり、(2)では、AD:DB = 1:2のとき、△BDEの面積が四角形AEBCの面積の何倍かを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) △AEB≡△CDBの証明

△AEBと△CDBにおいて

△ABCと△BDEはそれぞれ正三角形だから、

AB = CB ...(ア)

BE = BD ...(イ)

∠ABE = ∠CBD = 60° ...(ウ)

(ウ)について補足します。

∠ABE = ∠ABC - ∠EBC

∠CBD = ∠EBD - ∠EBC

∠ABC = ∠EBD = 60° より、

∠ABE = 60° - ∠EBC

∠CBD = 60° - ∠EBC

したがって ∠ABE = ∠CBD = 60°

ア、イ、ウより、2辺とその間の角がそれぞれ等しいから、

△AEB≡△CDB

(2) △BDEの面積が四角形AEBCの面積の何倍か

AD:DB = 1:2 より、AB = AD + DB = 1 + 2 = 3 となります。

したがって、DB = (2/3)AB です。

ここで、正三角形の面積の公式を思い出しましょう。1辺の長さが $a$ の正三角形の面積は $( \sqrt{3} / 4 ) a^2$ です。

△ABCの面積をS(ABC)とすると、

$S(ABC) = \frac{\sqrt{3}}{4} AB^2$

△BDEの面積をS(BDE)とすると、

$S(BDE) = \frac{\sqrt{3}}{4} DB^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (\frac{2}{3} AB)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{4}{9} AB^2 = \frac{4}{9} S(ABC)$

四角形AEBCの面積は、

S(AEBC) = S(ABC) + S(BDE) = S(ABC) + (4/9)S(ABC) = (13/9)S(ABC)

したがって、△BDEの面積は四角形AEBCの面積の

$\frac{S(BDE)}{S(AEBC)} = \frac{\frac{4}{9} S(ABC)}{\frac{13}{9} S(ABC)} = \frac{4}{13}$

倍です。

3. 最終的な答え

(1) ア: CB, イ: BD, ウ: CBD, エ: 2辺とその間の角

(2) 4/13倍