問題は、三角関数の式を与えられた条件のもとで、$r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変換することです。ここで、$r > 0$ かつ $-\pi < \alpha < \pi$ です。 (1) $\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$ (2) $\sin\theta - \cos\theta$

1. 問題の内容

問題は、三角関数の式を与えられた条件のもとで、$r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変換することです。ここで、$r > 0$ かつ $-\pi < \alpha < \pi$ です。

(1) $\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$

(2) $\sin\theta - \cos\theta$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$ の場合：

三角関数の合成公式 $a\sin\theta + b\cos\theta = r\sin(\theta + \alpha)$ を利用します。

$r = \sqrt{a^2 + b^2}$ であり、$\cos\alpha = \frac{a}{r}$、$\sin\alpha = \frac{b}{r}$ となります。

この問題では、$a = \sqrt{3}$、$b = 1$ なので、$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$ です。

$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin\alpha = \frac{1}{2}$ を満たす $\alpha$ は、$\alpha = \frac{\pi}{6}$ です。

したがって、$\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{6})$ となります。

(2) $\sin\theta - \cos\theta$ の場合：

$a = 1$, $b = -1$ なので、$r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ です。

$\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$、$\sin\alpha = \frac{-1}{\sqrt{2}}$ を満たす $\alpha$ は、$\alpha = -\frac{\pi}{4}$ です。

したがって、$\sin\theta - \cos\theta = \sqrt{2}\sin(\theta - \frac{\pi}{4})$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $2\sin(\theta + \frac{\pi}{6})$

(2) $\sqrt{2}\sin(\theta - \frac{\pi}{4})$