楕円 $x^2 + 2y^2 = 2$ を $C$ とおく。傾き $m$ の直線 $y = mx + 3$ を $l$ とおく。 (1) $C$ と $l$ が共有点をもたないような $m$ の値の範囲を求める。 (2) $m$ が (1) で求めた範囲にある定数とする。点 $P$ が $C$ 上を動くとき、$P$ と $l$ の距離の最大値と最小値を $m$ を用いて表す。

1. 問題の内容

楕円 $x^2 + 2y^2 = 2$ を $C$ とおく。傾き $m$ の直線 $y = mx + 3$ を $l$ とおく。

(1) $C$ と $l$ が共有点をもたないような $m$ の値の範囲を求める。

(2) $m$ が (1) で求めた範囲にある定数とする。点 $P$ が $C$ 上を動くとき、$P$ と $l$ の距離の最大値と最小値を $m$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1)

$C$ と $l$ の方程式を連立させて、$x^2$ の二次方程式を作る。

$x^2 + 2(mx + 3)^2 = 2$

$x^2 + 2(m^2x^2 + 6mx + 9) = 2$

$x^2 + 2m^2x^2 + 12mx + 18 = 2$

$(1 + 2m^2)x^2 + 12mx + 16 = 0$

この二次方程式が実数解を持たないとき、$C$ と $l$ は共有点をもたない。

判別式 $D < 0$

$D = (12m)^2 - 4(1 + 2m^2)(16) = 144m^2 - 64(1 + 2m^2) = 144m^2 - 64 - 128m^2 = 16m^2 - 64$

$16m^2 - 64 < 0$

$m^2 - 4 < 0$

$(m - 2)(m + 2) < 0$

$-2 < m < 2$

(2)

点 $P(x, y)$ と直線 $l: mx - y + 3 = 0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|mx - y + 3|}{\sqrt{m^2 + 1}}$

$x = \sqrt{2} \cos \theta$, $y = \sin \theta$ とおくと、点 $P(x, y)$ は楕円 $C$ 上の点である。

$d = \frac{|\sqrt{2}m \cos \theta - \sin \theta + 3|}{\sqrt{m^2 + 1}}$

$f(\theta) = \sqrt{2}m \cos \theta - \sin \theta$ とおくと、合成により

$f(\theta) = \sqrt{2m^2 + 1} \cos (\theta + \alpha)$, ただし $\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}m}{\sqrt{2m^2 + 1}}$, $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2m^2 + 1}}$

$-\sqrt{2m^2 + 1} \le f(\theta) \le \sqrt{2m^2 + 1}$

$d = \frac{|f(\theta) + 3|}{\sqrt{m^2 + 1}}$

最大値：$\frac{\sqrt{2m^2 + 1} + 3}{\sqrt{m^2 + 1}}$

最小値：$\frac{|-\sqrt{2m^2 + 1} + 3|}{\sqrt{m^2 + 1}}$

$-2 < m < 2$ のとき、$0 \le m^2 < 4$ であるから、$1 \le 2m^2 + 1 < 9$、よって $1 \le \sqrt{2m^2 + 1} < 3$

したがって、$3 - \sqrt{2m^2 + 1} > 0$ であるから、最小値は $\frac{3 - \sqrt{2m^2 + 1}}{\sqrt{m^2 + 1}}$

3. 最終的な答え

(1) $-2 < m < 2$

(2) 最大値は $\frac{\sqrt{2m^2 + 1} + 3}{\sqrt{m^2 + 1}}$、最小値は $\frac{3 - \sqrt{2m^2 + 1}}{\sqrt{m^2 + 1}}$