2直線 $ax + by + c = 0$ と $a'x + b'y + c' = 0$ について、以下の2つの命題を証明する問題です。ただし、$b \neq 0$ かつ $b' \neq 0$とします。 (1) 2直線が平行 $\Leftrightarrow$ $ab' - ba' = 0$ (2) 2直線が垂直 $\Leftrightarrow$ $aa' + bb' = 0$

1. 問題の内容

2直線 $ax + by + c = 0$ と $a'x + b'y + c' = 0$ について、以下の2つの命題を証明する問題です。ただし、$b \neq 0$ かつ $b' \neq 0$とします。

(1) 2直線が平行 $\Leftrightarrow$ $ab' - ba' = 0$

(2) 2直線が垂直 $\Leftrightarrow$ $aa' + bb' = 0$

2. 解き方の手順

(1) 2直線が平行の場合:

2直線が平行であるとき、それぞれの傾きは等しい。与えられた直線の方程式を変形して、傾きを求めます。

$ax + by + c = 0$ より、$by = -ax - c$ なので、$y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$。よって、傾きは $-\frac{a}{b}$です。

同様に、$a'x + b'y + c' = 0$ より、$b'y = -a'x - c'$なので、$y = -\frac{a'}{b'}x - \frac{c'}{b'}$。よって、傾きは $-\frac{a'}{b'}$です。

平行条件より、

$$-\frac{a}{b} = -\frac{a'}{b'}$$

$$ab' = a'b$$

$$ab' - a'b = 0$$

逆に、$ab' - a'b = 0$のとき、$ab' = a'b$なので、$-\frac{a}{b} = -\frac{a'}{b'}$となり、2直線の傾きが等しく、平行であることが言えます。

(2) 2直線が垂直の場合:

2直線が垂直であるとき、それぞれの傾きの積は-1です。

与えられた直線の方程式を変形して求めた傾きを用いると、

$$(-\frac{a}{b})(-\frac{a'}{b'}) = -1$$

$$\frac{aa'}{bb'} = -1$$

$$aa' = -bb'$$

$$aa' + bb' = 0$$

逆に、$aa' + bb' = 0$ のとき、$aa' = -bb'$なので、$\frac{aa'}{bb'}=-1$ となり、$(-\frac{a}{b})(-\frac{a'}{b'}) = -1$ となって、2直線の傾きの積が-1となり、垂直であることが言えます。

3. 最終的な答え

(1) 2直線が平行 $\Leftrightarrow$ $ab' - ba' = 0$

(2) 2直線が垂直 $\Leftrightarrow$ $aa' + bb' = 0$