三角形ABCにおいて、点Gは重心である。以下の線分の長さを求めよ。 (1) BD (2) AG

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Gは重心である。以下の線分の長さを求めよ。

(1) BD

(2) AG

2. 解き方の手順

(1) BDを求める。

DはBCの中点であるから、BD = DC

$DC = 6$ なので、$BD = 6$

(2) AGを求める。

重心Gは中線を2:1に内分する。

ADは中線なので、$AG:GD = 2:1$

$AG = 9$ とすると $AG:GD=2:1$ に合わない。

ADを $x$ とすると、$AG = \frac{2}{3}x$

$AG = 9$なので

$\frac{2}{3}x = 9$

$x = \frac{27}{2}$

$AD = \frac{27}{2} = 13.5$

$AG = \frac{2}{3}AD = \frac{2}{3} \times \frac{27}{2} = 9$

問題文から、$GD = \frac{1}{3}AD$

$AG : GD = 2 : 1$ であるから、$GD = \frac{1}{2}AG$

$AG = 9$と書いてあるので、$AG : GD = 9: GD$

したがって $GD = \frac{1}{2} \times 9 = 4.5$

$AD = AG + GD = 9 + 4.5 = 13.5$

3. 最終的な答え

(1) $BD = 6$

(2) $AG = 9$