直線 $l$ の方程式が $y = -x + 6$、直線 $m$ の方程式が $y = \frac{1}{3}x + 4$ であるとき、以下の問いに答える。 (1) 点Aの座標を求める。 (2) 原点Oと点Bを結び、三角形OBCを作るとき、点Bを通り、三角形OBCの面積を二等分する直線の式を求める。

1. 問題の内容

直線 $l$ の方程式が $y = -x + 6$、直線 $m$ の方程式が $y = \frac{1}{3}x + 4$ であるとき、以下の問いに答える。

(1) 点Aの座標を求める。

(2) 原点Oと点Bを結び、三角形OBCを作るとき、点Bを通り、三角形OBCの面積を二等分する直線の式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Aは直線 $l$ とx軸との交点なので、$y = -x + 6$ に $y = 0$ を代入して $x$ 座標を求める。

$0 = -x + 6$

$x = 6$

よって、点Aの座標は $(6, 0)$。

(2) まず、点Bの座標を求める。点Bは直線 $l$ と直線 $m$ の交点なので、連立方程式

$y = -x + 6$

$y = \frac{1}{3}x + 4$

を解く。

$-x + 6 = \frac{1}{3}x + 4$

$2 = \frac{4}{3}x$

$x = \frac{3}{2}$

$y = -\frac{3}{2} + 6 = \frac{9}{2}$

よって、点Bの座標は $(\frac{3}{2}, \frac{9}{2})$。

次に、点Cの座標を求める。点Cは直線 $l$ とy軸との交点なので、$y = -x + 6$ に $x = 0$ を代入して $y$ 座標を求める。

$y = -0 + 6 = 6$

よって、点Cの座標は $(0, 6)$。

三角形OBCの面積を二等分する直線は、線分OCの中点を通る。線分OCの中点の座標は、$(0, \frac{6}{2}) = (0, 3)$。

求める直線は、点B $(\frac{3}{2}, \frac{9}{2})$ と点 $(0, 3)$ を通る。

直線の傾き $a$ は、

$a = \frac{\frac{9}{2} - 3}{\frac{3}{2} - 0} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}} = 1$

切片は3なので、求める直線の方程式は $y = x + 3$。

3. 最終的な答え

(1) 点Aの座標は $(6, 0)$。

(2) 三角形OBCの面積を二等分する直線の式は $y = x + 3$。