点Oを中心とする半径 $a+b$ の半円の中に、半径 $a$ の半円O1と半径 $b$ の半円O2が入っている図がある。斜線部分の面積を $S$、半円O1の面積を $S_1$ とする。円周率を $\pi$ とする。 (1) $S_1$ を $a$ を用いて表す。 (2) $S$ を $a, b$ を用いて表す。 (3) $S = S_1$ のとき、$a:b$ を最も簡単な整数の比で表す。

1. 問題の内容

点Oを中心とする半径 $a+b$ の半円の中に、半径 $a$ の半円O1と半径 $b$ の半円O2が入っている図がある。斜線部分の面積を $S$、半円O1の面積を $S_1$ とする。円周率を $\pi$ とする。

(1) $S_1$ を $a$ を用いて表す。

(2) $S$ を $a, b$ を用いて表す。

(3) $S = S_1$ のとき、$a:b$ を最も簡単な整数の比で表す。

2. 解き方の手順

(1) 半円O1の面積 $S_1$ は、半径 $a$ の円の面積の半分であるから、

$S_1 = \frac{1}{2} \pi a^2$

(2) 斜線部分の面積 $S$ は、半径 $a+b$ の半円から、半径 $a$ の半円O1と半径 $b$ の半円O2の面積を引いたものである。

半径 $a+b$ の半円の面積は $\frac{1}{2}\pi (a+b)^2$

半径 $b$ の半円O2の面積は $\frac{1}{2}\pi b^2$

したがって、

$S = \frac{1}{2}\pi (a+b)^2 - \frac{1}{2}\pi a^2 - \frac{1}{2}\pi b^2$

$S = \frac{1}{2}\pi (a^2 + 2ab + b^2 - a^2 - b^2)$

$S = \frac{1}{2}\pi (2ab)$

$S = \pi ab$

(3) $S = S_1$ のとき、$\pi ab = \frac{1}{2} \pi a^2$ となる。

両辺を $\pi a$ で割ると、$b = \frac{1}{2}a$ となる。

よって、$a = 2b$ なので、$a:b = 2:1$

3. 最終的な答え

(1) $S_1 = \frac{1}{2} \pi a^2$

(2) $S = \pi ab$

(3) $a:b = 2:1$