1. 問題の内容
三角形ABCにおいて、点Gは三角形ABCの重心である。DEとBCが平行であるとき、AE:EGを求めよ。
2. 解き方の手順
重心Gは中線を2:1に内分する。ALは中線であるから、AG:GL = 2:1となる。
DE//BCより、三角形ADEと三角形ABCは相似である。
また、三角形AGEと三角形ALCも相似である。
AG:AL = 2:(2+1) = 2:3 である。
したがって、AE:AC = AG:AL = 2:3 である。
ゆえに、AE = (2/3)AC である。
点Gは中線AL上の点であるから、AE:EC = AD:DBではない。
AG:GL = 2:1より、AL = AG + GL = AG + (1/2)AG = (3/2)AG である。
したがって、AG = (2/3)AL である。
AE:EGを求めるために、AE = x, EG = yとおく。
AE = x, AG = AE + EG = x + y である。
ALは中線なので、点Lは辺BCの中点である。
AE:AL = x:((3/2)AG) = x:((3/2)(x+y)) である。
三角形ADEと三角形ABCは相似であるから、AD:AB = AE:AC = DE:BC。
三角形AGEと三角形ALCは相似であるから、AE:AC = AG:AL = EG:LC。
AG:AL = 2:3 であるから、AG = (2/3)AL である。
EG = AG - AE = (2/3)AL - AE。
AE:EG = AE:((2/3)AL - AE)。
三角形ABCにおいて、LはBCの中点であるから、ALは中線である。
したがって、AG:GL = 2:1 である。
DE//BCより、三角形ADEと三角形ABCは相似である。
AG:AL = 2:3 であるから、三角形AGEと三角形ALCも相似である。
AE:AC = AG:AL = 2:3 より、AE = (2/3)AC。
EL = AL - AE である。
AG:GL = 2:1 より、GL = (1/2)AG。
EG = AG - AE であり、GL = EL - EG なので、(1/2)AG = EL - (AG - AE)。
(1/2)AG = EL - AG + AE より、EL = (3/2)AG - AE。
EL = (3/2)(AE + EG) - AE = (3/2)AE + (3/2)EG - AE = (1/2)AE + (3/2)EG。
したがって、AE:EG = x:yとすると、EL = (1/2)x + (3/2)y。
AE:EG = x:yを求めるためには、AEとEGの関係が必要である。
AG:AL = 2:3 であるから、AG = (2/3)AL。
AE:AC = 2:3 より、AC = (3/2)AE。
相似比より、DE/BC = AE/AC = 2/3。
また、AD/AB = 2/3。
求めるのはAE:EGである。
ALは中線なので、ALはBCの中点Lを通る。
AG:AL = 2:3 より、AE:AL上の比は2:3である。
点Gは三角形ABCの重心であるから、AG:GL=2:1。
DE//BCであるから、AE:EL = AG:GL = 2:1。
AE:EL = 2:1より、AE:AL = 2:3。
AE:(EG+GL) = 2:1。
EL = EG+GL。
EL = (3/2)AEより、AE:EG = 3:1。
3. 最終的な答え
3:1