$0 \le \alpha < 2\pi$, $0 \le \beta < 2\pi$, $0 \le \gamma < 2\pi$ のとき、以下の式を $\cos \alpha$, $\cos \beta$, $\cos \gamma$ のなるべく簡単な式で表しなさい。 $$ \cos(\alpha + \beta + \gamma) + \cos(\alpha + \beta - \gamma) + \cos(\alpha - \beta + \gamma) + \cos(-\alpha + \beta + \gamma) $$

1. 問題の内容

$0 \le \alpha < 2\pi$, $0 \le \beta < 2\pi$, $0 \le \gamma < 2\pi$ のとき、以下の式を $\cos \alpha$, $\cos \beta$, $\cos \gamma$ のなるべく簡単な式で表しなさい。

$$\cos(\alpha + \beta + \gamma) + \cos(\alpha + \beta - \gamma) + \cos(\alpha - \beta + \gamma) + \cos(-\alpha + \beta + \gamma)$$

2. 解き方の手順

和積の公式を利用して式を整理します。

まず、第一項と第二項の和を計算します。

$$\cos(\alpha + \beta + \gamma) + \cos(\alpha + \beta - \gamma) = 2 \cos(\alpha + \beta) \cos(\gamma)$$

次に、第三項と第四項の和を計算します。

$$\cos(\alpha - \beta + \gamma) + \cos(-\alpha + \beta + \gamma) = 2 \cos(\beta + \gamma) \cos(\alpha)$$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$$2 \cos(\alpha + \beta) \cos(\gamma) + 2 \cos(\beta + \gamma) \cos(\alpha)$$

次に、加法定理を用いて $\cos(\alpha + \beta)$ と $\cos(\beta + \gamma)$ を展開します。

$$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$

$$\cos(\beta + \gamma) = \cos \beta \cos \gamma - \sin \beta \sin \gamma$$

これらを代入すると、

$$2 (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) \cos \gamma + 2 (\cos \beta \cos \gamma - \sin \beta \sin \gamma) \cos \alpha$$

$$= 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - 2 \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - 2 \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma$$

$$= 4 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - 2 \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma - 2 \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma$$

ここで、$2 \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma + 2 \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma$ を $2 \sin \beta (\sin \alpha \cos \gamma + \cos \alpha \sin \gamma) = 2 \sin \beta \sin(\alpha + \gamma)$と整理しても簡単になりません。

元の式に戻って考えます。

$$2\cos(\alpha + \beta)\cos\gamma + 2\cos(\beta+\gamma)\cos\alpha$$

さらに変形します。

$$2(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta)\cos\gamma + 2(\cos\beta\cos\gamma - \sin\beta\sin\gamma)\cos\alpha$$

$$= 2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma - 2\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma + 2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma - 2\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma$$

$$= 4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma - 2\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma - 2\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma$$

3. 最終的な答え

$4 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$