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一辺の長さが2の正三角形ABCにおいて、辺AB, AC上に点P, Qをそれぞれ取り、辺BCに下ろした垂線の足をR, Sとする。BR = xとしたとき、長方形PRSQの面積Tをxを用いて表す問題です。

幾何学正三角形面積直角三角形三角比長方形
2025/4/15

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正三角形ABCにおいて、辺AB, AC上に点P, Qをそれぞれ取り、辺BCに下ろした垂線の足をR, Sとする。BR = xとしたとき、長方形PRSQの面積Tをxを用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCは正三角形なので、各内角は60度です。三角形PBRも直角三角形であり、角Bは60度なので、三角形PBRは30度、60度、90度の直角三角形となります。
PRはBCに対する垂線であるため、PRの長さは、PR=xtan⁡60∘=3xPR = x \tan{60^\circ} = \sqrt{3}xとなります。
次に、長方形PRSQの面積Tを求めるためには、RSの長さを知る必要があります。正三角形ABCの一辺の長さは2なので、BC = 2です。したがって、RS=BC−BR−SC=2−x−SCRS = BC - BR - SC = 2 - x - SCとなります。
三角形QSCも三角形PBRと同様に30度、60度、90度の直角三角形なので、SC=PR/3=(3x)/3=xSC = PR / \sqrt{3} = (\sqrt{3}x) / \sqrt{3} = xとなります。
よって、RS=2−x−x=2−2xRS = 2 - x - x = 2 - 2xとなります。
したがって、長方形PRSQの面積Tは、T=PR⋅RS=3x(2−2x)=23x−23x2=3(2x−2x2)T = PR \cdot RS = \sqrt{3}x (2 - 2x) = 2\sqrt{3}x - 2\sqrt{3}x^2 = \sqrt{3}(2x - 2x^2)となります。

3. 最終的な答え

3(2x−2x2)\sqrt{3}(2x-2x^2)

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