2つの円 $C_1: x^2+y^2+8x-6y+21=0$、$C_2: x^2+y^2=k$ と直線 $l: x+2y-3=0$ について、以下の問いに答える。ただし、$k$ は正の定数とする。 (1) 円 $C_1$ の中心の座標と半径を求める。 (2) 円 $C_1$ と円 $C_2$ が異なる2点で交わるときの、$k$ のとり得る値の範囲を求める。 (3) 円 $C_2$ と直線 $l$ が接するときの、$k$ の値を求める。

1. 問題の内容

2つの円 $C_1: x^2+y^2+8x-6y+21=0$、$C_2: x^2+y^2=k$ と直線 $l: x+2y-3=0$ について、以下の問いに答える。ただし、$k$ は正の定数とする。

(1) 円 $C_1$ の中心の座標と半径を求める。

(2) 円 $C_1$ と円 $C_2$ が異なる2点で交わるときの、$k$ のとり得る値の範囲を求める。

(3) 円 $C_2$ と直線 $l$ が接するときの、$k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円 $C_1$ の方程式を平方完成する。

$x^2+8x+y^2-6y+21=0$

$(x^2+8x+16)+(y^2-6y+9)-16-9+21=0$

$(x+4)^2+(y-3)^2=4$

よって、円 $C_1$ の中心の座標は $(-4, 3)$、半径は $2$ である。

(2) 円 $C_1$ の中心を $A(-4, 3)$、半径を $r_1=2$、円 $C_2$ の中心を $O(0, 0)$、半径を $r_2=\sqrt{k}$ とする。

2つの円が異なる2点で交わる条件は、

$|r_1-r_2| < OA < r_1+r_2$

$OA = \sqrt{(-4-0)^2+(3-0)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$

$|2-\sqrt{k}| < 5 < 2+\sqrt{k}$

まず、$5 < 2+\sqrt{k}$ より、$\sqrt{k} > 3$ なので、$k > 9$。

次に、$|2-\sqrt{k}| < 5$ より、$-5 < 2-\sqrt{k} < 5$

$-7 < -\sqrt{k} < 3$

$-3 < \sqrt{k} < 7$

$0 \le \sqrt{k} < 7$

$0 \le k < 49$

したがって、$9 < k < 49$。

(3) 円 $C_2$ の中心 $(0, 0)$ と直線 $l: x+2y-3=0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|0+2(0)-3|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$

円 $C_2$ と直線 $l$ が接するとき、$d = r_2 = \sqrt{k}$ が成り立つので、

$\frac{3}{\sqrt{5}} = \sqrt{k}$

$k = \left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{9}{5}$

3. 最終的な答え

(1) 円 $C_1$ の中心の座標は $(-4, 3)$、半径は $2$ である。

(2) $9 < k < 49$

(3) $k = \frac{9}{5}$