座標平面上の3点 $A(0, 3)$、$B(0, 2)$と $x$ 軸上の点 $P(x, 0)$を考える。$0 \le \angle APB \le \pi$ の条件のもとで、$\angle APB$が最大になるような $x$ の値を全て求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上の3点 $A(0, 3)$、$B(0, 2)$と $x$ 軸上の点 $P(x, 0)$を考える。$0 \le \angle APB \le \pi$ の条件のもとで、$\angle APB$が最大になるような $x$ の値を全て求めよ。

2. 解き方の手順

$\angle APB$が最大になるのは、円 $APB$ が $x$ 軸に接するときである。

円 $APB$ の中心を $(t, s)$ とする。

円は点 $A(0, 3)$、$B(0, 2)$、$P(x, 0)$ を通るので、

$(0-t)^2 + (3-s)^2 = (0-t)^2 + (2-s)^2 = (x-t)^2 + (0-s)^2$

まず、$(0-t)^2 + (3-s)^2 = (0-t)^2 + (2-s)^2$ から、

$9 - 6s + s^2 = 4 - 4s + s^2$

$5 = 2s$

$s = \frac{5}{2}$

次に、$(0-t)^2 + (3-s)^2 = (x-t)^2 + (0-s)^2$ に $s = \frac{5}{2}$ を代入する。

$t^2 + (3 - \frac{5}{2})^2 = (x-t)^2 + (\frac{5}{2})^2$

$t^2 + (\frac{1}{2})^2 = (x-t)^2 + \frac{25}{4}$

$t^2 + \frac{1}{4} = x^2 - 2xt + t^2 + \frac{25}{4}$

$0 = x^2 - 2xt + \frac{24}{4}$

$0 = x^2 - 2xt + 6$

$2xt = x^2 + 6$

$t = \frac{x^2 + 6}{2x}$

円 $APB$ が $x$ 軸に接するという条件から、中心 $(t, s)$ から $x$ 軸までの距離が円の半径に等しいので、$|s|$ は円の半径に等しい。つまり半径は $\frac{5}{2}$ である。

円の半径は、$\sqrt{(0-t)^2 + (3-s)^2} = \sqrt{t^2 + (3 - \frac{5}{2})^2} = \sqrt{t^2 + \frac{1}{4}}$であるので、

$\sqrt{t^2 + \frac{1}{4}} = \frac{5}{2}$

$t^2 + \frac{1}{4} = \frac{25}{4}$

$t^2 = \frac{24}{4} = 6$

$t = \pm \sqrt{6}$

$t = \frac{x^2 + 6}{2x}$ であったので、

$\pm \sqrt{6} = \frac{x^2 + 6}{2x}$

$\pm 2 \sqrt{6} x = x^2 + 6$

$x^2 \mp 2\sqrt{6}x + 6 = 0$

$x = \frac{\pm 2\sqrt{6} \pm \sqrt{24 - 24}}{2} = \pm \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$x = \pm \sqrt{6}$