円に内接する四角形BCDEがある。弦BCの円周角は$8^\circ$であり、$\angle BAC = 3^\circ$, $\angle DAE = 4^\circ$である。弦DEの円周角$y$を求める問題である。

1. 問題の内容

円に内接する四角形BCDEがある。弦BCの円周角は$8^\circ$であり、$\angle BAC = 3^\circ$, $\angle DAE = 4^\circ$である。弦DEの円周角$y$を求める問題である。

2. 解き方の手順

円周角の定理より、弦BCに対する円周角$\angle BEC$は、$8^\circ$である。同様に、弦DEに対する円周角$\angle DCE$は、$y^\circ$である。

四角形BCDEは円に内接するので、向かい合う角の和は180度である。つまり、

$\angle E + \angle C = 180^\circ$

$\angle E$ は $\angle BEC + \angle BED$で表せる。$\angle BEC = 8^\circ$なので、

$\angle E = 8^\circ + \angle BED$

$\angle C$ は $\angle DCE + \angle BCA$で表せる。$\angle DCE = y^\circ$なので、

$\angle C = y^\circ + \angle BCA$

したがって、

$8^\circ + \angle BED + y^\circ + \angle BCA = 180^\circ$

ここで$\angle BED$は弦BDの円周角である。$\angle BAC = 3^\circ$なので、円周角の定理から$\angle BCD = 3^\circ$

$\angle DAE = 4^\circ$なので、円周角の定理から$\angle DBE = 4^\circ$

$\angle BCA$は、弧ABの円周角であり、与えられていない。

円周角の定理により、$\angle BEC = 8^\circ$、$\angle BDC = 8^\circ$となる。

同様に、$\angle DCE = y^\circ$、$\angle DAE = y^\circ$となる。

$\angle BAC = 3^\circ$より、$\angle BDC = 3^\circ$

$\angle DAE = 4^\circ$より、$\angle DBE = 4^\circ$

したがって$\angle BDC = 3^\circ$と $\angle BDC = 8^\circ$は矛盾。

$\angle BEC = 8^\circ$

$\angle BED = \angle BAD$

$\angle BCA = y^\circ$

$\angle DCE = y^\circ$

$\angle BED = \angle BAD$

$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 3 + 4 = 7$

円周角の定理より、$\angle BCD = 3^\circ$ ,$\angle DBE = 4^\circ$

ここで、四角形BCDEは円に内接しているので、

$\angle CBE + \angle CDE = 180^\circ$

$\angle BCE + \angle BDE = 180^\circ$

$\angle CBE = \angle CBA + \angle ABE$

$\angle CDE = \angle CDA + \angle ADE$

3 + y = 8 + 4より

3 + y = 12

y = 9

3. 最終的な答え

9