$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $2:1$ に内分する点を $C$, 辺 $AB$ の中点を $M$ とする。$BC$ と $OM$ の交点を $P$ とするとき、以下の問いに答えよ。 (i) $\vec{OP}$ を $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ で表せ。 (ii) さらに、$OA=4$, $OB=6$, $\angle AOB = 60^\circ$ であるとき、$\lvert \vec{OP} \rvert$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $2:1$ に内分する点を $C$, 辺 $AB$ の中点を $M$ とする。$BC$ と $OM$ の交点を $P$ とするとき、以下の問いに答えよ。

(i) $\vec{OP}$ を $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ で表せ。

(ii) さらに、$OA=4$, $OB=6$, $\angle AOB = 60^\circ$ であるとき、$\lvert \vec{OP} \rvert$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(i)

点 $P$ は直線 $BC$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OB} + s\vec{OC}$

と表せる。ここで、$C$ は線分 $OA$ を $2:1$ に内分するので、$\vec{OC} = \frac{2}{3}\vec{OA}$ である。

したがって、

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OB} + \frac{2s}{3}\vec{OA}$

また、点 $P$ は直線 $OM$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて

$\vec{OP} = t\vec{OM}$

と表せる。ここで、$M$ は線分 $AB$ の中点なので、$\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$ である。

したがって、

$\vec{OP} = \frac{t}{2}\vec{OA} + \frac{t}{2}\vec{OB}$

$\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ は一次独立なので、

$\begin{cases}

\frac{2s}{3} = \frac{t}{2} \\

1-s = \frac{t}{2}

\end{cases}$

が成り立つ。

この連立方程式を解くと、

$\frac{2s}{3} = 1-s$

$2s = 3 - 3s$

$5s = 3$

$s = \frac{3}{5}$

したがって、$t = 2(1-s) = 2(1 - \frac{3}{5}) = 2 \times \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$

$\vec{OP} = \frac{t}{2}\vec{OA} + \frac{t}{2}\vec{OB} = \frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{2}{5}\vec{OB}$

(ii)

$\lvert \vec{OA} \rvert = 4$, $\lvert \vec{OB} \rvert = 6$, $\angle AOB = 60^\circ$ より、$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = \lvert \vec{OA} \rvert \lvert \vec{OB} \rvert \cos 60^\circ = 4 \times 6 \times \frac{1}{2} = 12$

$\vec{OP} = \frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{2}{5}\vec{OB}$ なので、

$\lvert \vec{OP} \rvert^2 = \left( \frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{2}{5}\vec{OB} \right) \cdot \left( \frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{2}{5}\vec{OB} \right)$

$= \frac{4}{25} \lvert \vec{OA} \rvert^2 + \frac{8}{25} \vec{OA} \cdot \vec{OB} + \frac{4}{25} \lvert \vec{OB} \rvert^2$

$= \frac{4}{25} (4^2) + \frac{8}{25} (12) + \frac{4}{25} (6^2)$

$= \frac{4}{25} (16) + \frac{8}{25} (12) + \frac{4}{25} (36)$

$= \frac{64 + 96 + 144}{25} = \frac{304}{25}$

$\lvert \vec{OP} \rvert = \sqrt{\frac{304}{25}} = \frac{\sqrt{304}}{5} = \frac{\sqrt{16 \times 19}}{5} = \frac{4\sqrt{19}}{5}$

3. 最終的な答え

(i) $\vec{OP} = \frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{2}{5}\vec{OB}$

(ii) $\lvert \vec{OP} \rvert = \frac{4\sqrt{19}}{5}$