長方形ABCDの内部に点Pがあり、$PA=3, PC=5, PD=4$のとき、$PB$の長さを求めます。

1. 問題の内容

長方形ABCDの内部に点Pがあり、$PA=3, PC=5, PD=4$のとき、$PB$の長さを求めます。

2. 解き方の手順

点Pから各辺に垂線を下ろし、それぞれの交点をE, F, G, Hとします。

$PE=a, PF=b, PG=c, PH=d$とおくと、三平方の定理より、

$PA^2 = a^2 + d^2$

$PB^2 = a^2 + b^2$

$PC^2 = b^2 + c^2$

$PD^2 = c^2 + d^2$

ここで、$PA=3, PC=5, PD=4$なので、

$PA^2 = 9$

$PC^2 = 25$

$PD^2 = 16$

よって、

$a^2 + d^2 = 9$ (1)

$b^2 + c^2 = 25$ (2)

$c^2 + d^2 = 16$ (3)

求めるものは$PB$なので、$PB^2 = a^2 + b^2$です。

(1) + (2) より

$a^2 + d^2 + b^2 + c^2 = 9 + 25 = 34$

(3) より

$a^2 + b^2 + (c^2 + d^2) = a^2 + b^2 + 16 = 34$

$a^2 + b^2 = 34 - 16 = 18$

したがって、$PB^2 = 18$

$PB = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$PB = 3\sqrt{2}$