一直線上にない3点O, A, Bがあり、$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}$とします。以下の直線をベクトル方程式で表してください。ただし、直線上の任意の点Pの位置ベクトルを$\vec{p}$とします。 (1) 点Aを通り、方向ベクトルが$\vec{b}$の直線 (2) 直線OA (3) 線分OAの中点Mと線分OBの中点Nを通る直線 (4) OAを1:2の比に内分する点Cと点Bを通る直線 (5) ABを2:3の比に内分する点Cと原点Oを通る直線 (6) 点Aを通り、OBに垂直な直線 (7) 点Aを通り、線分ABに垂直な直線 (8) 線分OAの垂直二等分線

1. 問題の内容

一直線上にない3点O, A, Bがあり、$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}$とします。以下の直線をベクトル方程式で表してください。ただし、直線上の任意の点Pの位置ベクトルを$\vec{p}$とします。

(1) 点Aを通り、方向ベクトルが$\vec{b}$の直線

(2) 直線OA

(3) 線分OAの中点Mと線分OBの中点Nを通る直線

(4) OAを1:2の比に内分する点Cと点Bを通る直線

(5) ABを2:3の比に内分する点Cと原点Oを通る直線

(6) 点Aを通り、OBに垂直な直線

(7) 点Aを通り、線分ABに垂直な直線

(8) 線分OAの垂直二等分線

2. 解き方の手順

(1) 点Aを通り、方向ベクトルが$\vec{b}$の直線

$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{b}$ (tは実数)

(2) 直線OA

$\vec{p} = t\vec{a}$ (tは実数)

(3) 線分OAの中点Mと線分OBの中点Nを通る直線

$\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{a}$, $\vec{ON} = \frac{1}{2}\vec{b}$

$\vec{p} = (1-t)\vec{OM} + t\vec{ON} = (1-t)\frac{1}{2}\vec{a} + t\frac{1}{2}\vec{b}$

$\vec{p} = \frac{1-t}{2}\vec{a} + \frac{t}{2}\vec{b}$

$\vec{p} = s\vec{a} + (1-s)\vec{b}$ where $s=\frac{1-t}{2}$ and $1-s = \frac{t}{2}$

or $2s+2(1-s)= 1-t+t =1$, thus $s+t =1$ for general line.

In particular,

$\vec{p} = \frac{1}{2}\vec{a} + t(\frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}) = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{t}{2}(\vec{b} - \vec{a})$

$\vec{p} = \frac{1}{2}(1-t)\vec{a} + \frac{t}{2}\vec{b}$ (tは実数)

(4) OAを1:2の比に内分する点Cと点Bを通る直線

$\vec{OC} = \frac{1\vec{a} + 2\vec{0}}{1+2} = \frac{1}{3}\vec{a}$

$\vec{p} = (1-t)\vec{OC} + t\vec{OB} = (1-t)\frac{1}{3}\vec{a} + t\vec{b}$

$\vec{p} = \frac{1-t}{3}\vec{a} + t\vec{b}$ (tは実数)

(5) ABを2:3の比に内分する点Cと原点Oを通る直線

$\vec{OC} = \frac{2\vec{b} + 3\vec{a}}{2+3} = \frac{3\vec{a} + 2\vec{b}}{5}$

$\vec{p} = t\vec{OC} = t\frac{3\vec{a} + 2\vec{b}}{5}$

$\vec{p} = \frac{3t}{5}\vec{a} + \frac{2t}{5}\vec{b}$ (tは実数)

(6) 点Aを通り、OBに垂直な直線

$(\vec{p} - \vec{a}) \cdot \vec{b} = 0$

$\vec{p} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$\vec{p} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b}$

(7) 点Aを通り、線分ABに垂直な直線

$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$

$(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 0$

$\vec{p} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) - \vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 0$

$\vec{p} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{a})$

$\vec{p} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{a}|^2$

(8) 線分OAの垂直二等分線

線分OAの中点をMとする。 $\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{a}$

$(\vec{p} - \frac{1}{2}\vec{a}) \cdot \vec{a} = 0$

$\vec{p} \cdot \vec{a} - \frac{1}{2}|\vec{a}|^2 = 0$

$\vec{p} \cdot \vec{a} = \frac{1}{2}|\vec{a}|^2$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{p} = \vec{a} + t\vec{b}$ (tは実数)

(2) $\vec{p} = t\vec{a}$ (tは実数)

(3) $\vec{p} = \frac{1}{2}(1-t)\vec{a} + \frac{t}{2}\vec{b}$ (tは実数)

(4) $\vec{p} = \frac{1-t}{3}\vec{a} + t\vec{b}$ (tは実数)

(5) $\vec{p} = \frac{3t}{5}\vec{a} + \frac{2t}{5}\vec{b}$ (tは実数)

(6) $\vec{p} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b}$

(7) $\vec{p} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{a}|^2$

(8) $\vec{p} \cdot \vec{a} = \frac{1}{2}|\vec{a}|^2$