三角形ABCにおいて、$BP:PC = 3:2$、$AQ:QC = 1:2$ であるとき、$AR:RB$ を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$BP:PC = 3:2$、$AQ:QC = 1:2$ であるとき、$AR:RB$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理を利用して解きます。チェバの定理とは、三角形ABCにおいて、各辺に点D,E,Fがそれぞれあり、AD, BE, CFが一点で交わるならば、$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$ が成り立つ、というものです。

この問題の場合、AD, BE, CFに対応するのがそれぞれCQ, AR, BPです。点Rは、線分BQと線分APの交点です。チェバの定理より、以下の式が成り立ちます。

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$

問題文より、$BP:PC = 3:2$、$AQ:QC = 1:2$ なので、$BP/PC = 3/2$、$CQ/QA = 2/1 = 2$ となります。

これを代入すると、

$\frac{3}{2} \cdot 2 \cdot \frac{AR}{RB} = 1$

$3 \cdot \frac{AR}{RB} = 1$

$\frac{AR}{RB} = \frac{1}{3}$

したがって、$AR:RB = 1:3$ となります。

3. 最終的な答え

1:3