四角形ABCEと三角形ECDがあり、∠A = 129°, ∠B = 91°, ∠C = 90°, ∠ECD = 110°である。辺AE = 辺CE, 辺ED = 辺CDである。このとき、∠EPDを求める。

1. 問題の内容

四角形ABCEと三角形ECDがあり、∠A = 129°, ∠B = 91°, ∠C = 90°, ∠ECD = 110°である。辺AE = 辺CE, 辺ED = 辺CDである。このとき、∠EPDを求める。

2. 解き方の手順

四角形ABCEの内角の和は360°であるから、

$∠A + ∠B + ∠C + ∠AEC = 360°$

$129° + 91° + 90° + ∠AEC = 360°$

$310° + ∠AEC = 360°$

$∠AEC = 360° - 310° = 50°$

三角形AECはAE = CEの二等辺三角形なので、

$∠EAC = ∠ECA = (180° - ∠AEC) / 2 = (180° - 50°) / 2 = 130° / 2 = 65°$

∠BCD = 110°なので、

$∠BCA = ∠BCD - ∠ECA = 110° - 65° = 45°$

三角形ECDはED = CDの二等辺三角形なので、

$∠DEC = ∠DCE = 110°$であるから、

$∠EDC = 180° - 2*65° = 180° - 130° = 50°$

∠AEC + ∠DEC + ∠AED = 360°より

$∠AED = 360° - ∠AEC - ∠DEC = 360° - 50° - 65° = 245°$

∠AED + ∠EDC = 360°

∠EPDを求めるためには、四角形AECDの内角の和を利用する。

$∠A + ∠AEC + ∠DEC + ∠ECD + ∠C + ∠B = 360°$

$∠AECD = 360° - ∠A - ∠C = 360° - 129° - 90°= 141°$

∠AEC = 50°と∠ECD = 65°が分かっているので

∠AED + ∠CDE = 360° - ∠AEC - ∠ECD

$∠AED + ∠CDE = 360° - 50° - 65° = 360° - 115° = 245°$

∠EPD = 180° - (180° - (∠AEC + ∠DEC) / 2

$∠CED = 180 - 2*65 = 50$

$∠AED= ∠DEC$

三角形ECDで、ED=CDより、∠DEC = ∠DCE

∠ECD=110 なので ∠DEC = (180-110)/2 = 35

三角形AECで AE=CEより ∠CAE = ∠ACE

∠AEC = 50 より ∠CAE = (180-50)/2 = 65

∠EPDは、三角形PEDの内角の和が180度であることから求まる。

∠PED = 35

∠EDP = 65

∠EPD = 180 -35 -65 = 80

3. 最終的な答え

∠EPD = 80°