平行六面体ABCD-EFGHにおいて、辺FGの中点をMとする。直線AMと平面BDEの交点をPとしたとき、ベクトル$\vec{AP}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表す。ここで、$\vec{AB} = \vec{a}, \vec{AD} = \vec{b}, \vec{AE} = \vec{c}$である。

1. 問題の内容

平行六面体ABCD-EFGHにおいて、辺FGの中点をMとする。直線AMと平面BDEの交点をPとしたとき、ベクトル$\vec{AP}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表す。ここで、$\vec{AB} = \vec{a}, \vec{AD} = \vec{b}, \vec{AE} = \vec{c}$である。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{AM}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表す。Mは辺FGの中点なので、

$\vec{AM} = \vec{AF} + \vec{FM} = \vec{AF} + \frac{1}{2} \vec{FG}$

平行六面体であることから、$\vec{AF} = \vec{AD} + \vec{AE} = \vec{b} + \vec{c}$、$\vec{FG} = \vec{AB} = \vec{a}$となるので、

$\vec{AM} = \vec{b} + \vec{c} + \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

次に、点Pは直線AM上にあるので、実数$k$を用いて

$\vec{AP} = k \vec{AM} = k(\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \frac{k}{2}\vec{a} + k\vec{b} + k\vec{c}$

と表せる。

一方、点Pは平面BDE上にあるので、実数$s, t$を用いて

$\vec{AP} = \vec{AB} + s\vec{BD} + t\vec{BE} = \vec{a} + s(\vec{AD} - \vec{AB}) + t(\vec{AE} - \vec{AB}) = \vec{a} + s(\vec{b} - \vec{a}) + t(\vec{c} - \vec{a}) = (1-s-t)\vec{a} + s\vec{b} + t\vec{c}$

と表せる。

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は一次独立なので、係数を比較して

$\frac{k}{2} = 1-s-t$

$k = s$

$k = t$

これらの方程式から、$s, t, k$を求める。

$\frac{k}{2} = 1-k-k$

$\frac{k}{2} = 1-2k$

$k = 2 - 4k$

$5k = 2$

$k = \frac{2}{5}$

したがって、

$\vec{AP} = \frac{2}{5}(\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{5}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c}$

3. 最終的な答え

$\vec{AP} = \frac{1}{5}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c}$