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三角形ABCがあり、頂点A, B, Cの位置ベクトルはそれぞれ$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$である。辺BC, CA, ABをそれぞれ2:1に内分する点をP, Q, Rとする。三角形ABCの重心をG、三角形PQRの重心をG'とする。 (1) G'の位置ベクトル$\vec{g'}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表せ。 (2) 等式$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$が成り立つことを示せ。

幾何学ベクトル重心内分点
2025/6/10
はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、頂点A, B, Cの位置ベクトルはそれぞれa⃗\vec{a}, b⃗\vec{b}, c⃗\vec{c}である。辺BC, CA, ABをそれぞれ2:1に内分する点をP, Q, Rとする。三角形ABCの重心をG、三角形PQRの重心をG'とする。
(1) G'の位置ベクトルg′⃗\vec{g'}をa⃗\vec{a}, b⃗\vec{b}, c⃗\vec{c}を用いて表せ。
(2) 等式GA⃗+GB⃗+GC⃗=0⃗\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}が成り立つことを示せ。

2. 解き方の手順

(1) まず、点P, Q, Rの位置ベクトルp⃗\vec{p}, q⃗\vec{q}, r⃗\vec{r}をそれぞれ求める。内分点の公式より、
p⃗=c⃗+2b⃗2+1=2b⃗+c⃗3\vec{p} = \frac{\vec{c} + 2\vec{b}}{2+1} = \frac{2\vec{b} + \vec{c}}{3}
q⃗=a⃗+2c⃗2+1=a⃗+2c⃗3\vec{q} = \frac{\vec{a} + 2\vec{c}}{2+1} = \frac{\vec{a} + 2\vec{c}}{3}
r⃗=b⃗+2a⃗2+1=2a⃗+b⃗3\vec{r} = \frac{\vec{b} + 2\vec{a}}{2+1} = \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3}
次に、三角形PQRの重心G'の位置ベクトルg′⃗\vec{g'}を求める。
g′⃗=p⃗+q⃗+r⃗3=2b⃗+c⃗3+a⃗+2c⃗3+2a⃗+b⃗33\vec{g'} = \frac{\vec{p} + \vec{q} + \vec{r}}{3} = \frac{\frac{2\vec{b} + \vec{c}}{3} + \frac{\vec{a} + 2\vec{c}}{3} + \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3}}{3}
整理すると、
g′⃗=3a⃗+3b⃗+3c⃗9=a⃗+b⃗+c⃗3\vec{g'} = \frac{3\vec{a} + 3\vec{b} + 3\vec{c}}{9} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}
(2) 三角形ABCの重心Gの位置ベクトルg⃗\vec{g}は、
g⃗=a⃗+b⃗+c⃗3\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}
GA⃗=a⃗−g⃗=a⃗−a⃗+b⃗+c⃗3=2a⃗−b⃗−c⃗3\vec{GA} = \vec{a} - \vec{g} = \vec{a} - \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} = \frac{2\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}}{3}
GB⃗=b⃗−g⃗=b⃗−a⃗+b⃗+c⃗3=2b⃗−a⃗−c⃗3\vec{GB} = \vec{b} - \vec{g} = \vec{b} - \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} = \frac{2\vec{b} - \vec{a} - \vec{c}}{3}
GC⃗=c⃗−g⃗=c⃗−a⃗+b⃗+c⃗3=2c⃗−a⃗−b⃗3\vec{GC} = \vec{c} - \vec{g} = \vec{c} - \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} = \frac{2\vec{c} - \vec{a} - \vec{b}}{3}
よって、
GA⃗+GB⃗+GC⃗=2a⃗−b⃗−c⃗3+2b⃗−a⃗−c⃗3+2c⃗−a⃗−b⃗3=(2a⃗−a⃗−a⃗)+(2b⃗−b⃗−b⃗)+(2c⃗−c⃗−c⃗)3=0⃗3=0⃗\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \frac{2\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}}{3} + \frac{2\vec{b} - \vec{a} - \vec{c}}{3} + \frac{2\vec{c} - \vec{a} - \vec{b}}{3} = \frac{(2\vec{a} - \vec{a} - \vec{a}) + (2\vec{b} - \vec{b} - \vec{b}) + (2\vec{c} - \vec{c} - \vec{c})}{3} = \frac{\vec{0}}{3} = \vec{0}
したがって、GA⃗+GB⃗+GC⃗=0⃗\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) g′⃗=a⃗+b⃗+c⃗3\vec{g'} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}
(2) GA⃗+GB⃗+GC⃗=0⃗\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}が成り立つ。

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