半径8の円Cと半径2の円C'が外接している。C, C'に共通接線lを引き、それぞれの接点をP, Qとする。O, O'を通る直線とlの交点をRとする。PQの長さとPRの長さを求めよ。

1. 問題の内容

半径8の円Cと半径2の円C'が外接している。C, C'に共通接線lを引き、それぞれの接点をP, Qとする。O, O'を通る直線とlの交点をRとする。PQの長さとPRの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) PQの長さを求める。

Oから線分O'Qに平行な線を引き、線分PQとの交点をSとする。

このとき、四角形O'QSPは長方形なので、O'Q = PS = 2となる。

また、OS = PQとなる。

三角形OSO'は直角三角形であり、OO' = 8 + 2 = 10, OS = 8 - 2 = 6である。

三平方の定理より、

$OO'^2 = OS^2 + O'S^2$

$10^2 = OS^2 + 6^2$

$100 = OS^2 + 36$

$OS^2 = 64$

$OS = 8$

したがって、PQ = OS = 8である。

(2) PRの長さを求める。

三角形OPRと三角形O'QRは相似である。

したがって、PR : QR = OP : O'Q = 8 : 2 = 4 : 1である。

QR = PQ - PRであるから、PR : (PQ - PR) = 4 : 1となる。

PR = xとすると、x : (8 - x) = 4 : 1

x = 4(8 - x) = 32 - 4x

5x = 32

x = 32/5

したがって、PR = (32/5)である。

PR = kPQとおくと、

(32/5) = k * 8

k = (32/5) / 8 = (32/5) * (1/8) = 4/5

3. 最終的な答え

(1) PQの長さは8である。

(2) PR = (32/5) PQ = (4/5) である。