$x^2 - 3x + y^2 + 5y = 1$ $(x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 = 1$ $(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = 1 + \frac{9}{4} + \frac{25}{4}$ $(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = \frac{38}{4} = \frac{19}{2}$ よって、中心は $(\frac{3}{2}, -\frac{5}{2})$。

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1. 問題の内容

以下の円の方程式を求める問題です。

(1) 円 $x^2 + y^2 - 3x + 5y - 1 = 0$ と中心が同じで、点 $(1, 2)$ を通る円。

(2) 点 $(1, -3)$ に関して、円 $x^2 + y^2 = 1$ と対称な円。

(3) 中心が $x$ 軸上にあり、2点 $(3, 5), (-3, 7)$ を通る円。

(4) 中心が直線 $y=x$ 上にあり、半径が $\sqrt{13}$ で点 $(2, 1)$ を通る円。

(5) 点 $(1, 2)$ を通り、$x$ 軸および $y$ 軸に接する円。

(6) 3直線 $x - y = -1$, $x + y = 3$, $x + 2y = -1$ で作られる三角形の外接円。

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2. 解き方の手順

**(1) 円 $x^2 + y^2 - 3x + 5y - 1 = 0$ と中心が同じで、点 $(1, 2)$ を通る円**

1. 与えられた円の方程式を平方完成し、中心を求める。

$x^2 - 3x + y^2 + 5y = 1$

$(x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 = 1$

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = 1 + \frac{9}{4} + \frac{25}{4}$

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = \frac{38}{4} = \frac{19}{2}$

よって、中心は $(\frac{3}{2}, -\frac{5}{2})$。

2. 求める円の方程式を $(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = r^2$ とおく。

3. 円が点 $(1, 2)$ を通るので、代入して $r^2$ を求める。

$(1 - \frac{3}{2})^2 + (2 + \frac{5}{2})^2 = r^2$

$(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{9}{2})^2 = r^2$

$\frac{1}{4} + \frac{81}{4} = r^2$

$r^2 = \frac{82}{4} = \frac{41}{2}$

4. 求める円の方程式は $(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = \frac{41}{2}$

**(2) 点 $(1, -3)$ に関して、円 $x^2 + y^2 = 1$ と対称な円**

1. 円 $x^2 + y^2 = 1$ の中心は $(0, 0)$，半径は $1$。

2. 中心 $(0, 0)$ の，点 $(1, -3)$ に関する対称点を求める。対称点を $(x', y')$ とすると

$\frac{x' + 0}{2} = 1$, $\frac{y' + 0}{2} = -3$

$x' = 2$, $y' = -6$

よって，対称点の中心は $(2, -6)$

3. 対称な円の半径は元の円の半径と同じなので $1$。

4. よって，求める円の方程式は $(x - 2)^2 + (y + 6)^2 = 1$。

**(3) 中心が $x$ 軸上にあり、2点 $(3, 5), (-3, 7)$ を通る円**

1. 中心が $x$ 軸上にあるので、中心の座標を $(a, 0)$ とおく。

2. 円の方程式を $(x - a)^2 + y^2 = r^2$ とおく。

3. 2点 $(3, 5), (-3, 7)$ を通るので、代入する。

$(3 - a)^2 + 5^2 = r^2$

$(-3 - a)^2 + 7^2 = r^2$

4. 2式から $r^2$ を消去する。

$(3 - a)^2 + 25 = (-3 - a)^2 + 49$

$9 - 6a + a^2 + 25 = 9 + 6a + a^2 + 49$

$-6a + 34 = 6a + 58$

$-12a = 24$

$a = -2$

5. $a = -2$ を代入して $r^2$ を求める。

$(3 - (-2))^2 + 25 = r^2$

$5^2 + 25 = r^2$

$r^2 = 50$

6. 求める円の方程式は $(x + 2)^2 + y^2 = 50$

**(4) 中心が直線 $y=x$ 上にあり、半径が $\sqrt{13}$ で点 $(2, 1)$ を通る円**

1. 中心が直線 $y = x$ 上にあるので、中心の座標を $(a, a)$ とおく。

2. 円の方程式を $(x - a)^2 + (y - a)^2 = 13$ とおく。

3. 点 $(2, 1)$ を通るので、代入する。

$(2 - a)^2 + (1 - a)^2 = 13$

$4 - 4a + a^2 + 1 - 2a + a^2 = 13$

$2a^2 - 6a + 5 = 13$

$2a^2 - 6a - 8 = 0$

$a^2 - 3a - 4 = 0$

$(a - 4)(a + 1) = 0$

$a = 4, -1$

4. $a = 4$ のとき、$(x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 13$

$a = -1$ のとき、$(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 13$

5. 求める円の方程式は $(x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 13$ または $(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 13$

**(5) 点 $(1, 2)$ を通り、$x$ 軸および $y$ 軸に接する円**

1. $x$ 軸および $y$ 軸に接するので、中心は $(r, r)$ とおける。

2. 円の方程式は $(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2$ とおける。

3. 点 $(1, 2)$ を通るので、代入する。

$(1 - r)^2 + (2 - r)^2 = r^2$

$1 - 2r + r^2 + 4 - 4r + r^2 = r^2$

$r^2 - 6r + 5 = 0$

$(r - 1)(r - 5) = 0$

$r = 1, 5$

4. $r = 1$ のとき、$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$

$r = 5$ のとき、$(x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 25$

5. 求める円の方程式は $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$ または $(x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 25$

**(6) 3直線 $x - y = -1$, $x + y = 3$, $x + 2y = -1$ で作られる三角形の外接円**

1. 3直線の交点を求める。

* $x - y = -1$ と $x + y = 3$ の交点

$2x = 2$

$x = 1$, $y = 2$

交点は $(1, 2)$

* $x - y = -1$ と $x + 2y = -1$ の交点

$x = y - 1$ を $x + 2y = -1$ に代入

$y - 1 + 2y = -1$

$3y = 0$

$y = 0$, $x = -1$

交点は $(-1, 0)$

* $x + y = 3$ と $x + 2y = -1$ の交点

$x = 3 - y$ を $x + 2y = -1$ に代入

$3 - y + 2y = -1$

$y = -4$, $x = 7$

交点は $(7, -4)$

2. 求める円の方程式を $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ とおく。

3. 3点 $(1, 2), (-1, 0), (7, -4)$ を通るので、代入する。

$1 + 4 + a + 2b + c = 0 \Rightarrow a + 2b + c = -5$

$1 + 0 - a + 0 + c = 0 \Rightarrow -a + c = -1$

$49 + 16 + 7a - 4b + c = 0 \Rightarrow 7a - 4b + c = -65$

4. 連立方程式を解く。

$a + 2b + c = -5$

$-a + c = -1$

$7a - 4b + c = -65$

$-a + c = -1$ より $c = a - 1$

$a + 2b + a - 1 = -5 \Rightarrow 2a + 2b = -4 \Rightarrow a + b = -2$

$7a - 4b + a - 1 = -65 \Rightarrow 8a - 4b = -64 \Rightarrow 2a - b = -16$

$a + b = -2$

$2a - b = -16$

$3a = -18 \Rightarrow a = -6$

$b = -2 - a = -2 + 6 = 4$

$c = a - 1 = -6 - 1 = -7$

5. よって、円の方程式は $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 7 = 0$

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3. 最終的な答え

(1) $(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = \frac{41}{2}$

(2) $(x - 2)^2 + (y + 6)^2 = 1$

(3) $(x + 2)^2 + y^2 = 50$

(4) $(x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 13$ または $(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 13$

(5) $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$ または $(x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 25$

(6) $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 7 = 0$