ベクトル $\vec{a} = (2, -1, 3)$ とベクトル $\vec{b} = (0, -2, 1)$ の両方に垂直で、大きさが $3\sqrt{5}$ であるベクトルを求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, -1, 3)$ とベクトル $\vec{b} = (0, -2, 1)$ の両方に垂直で、大きさが $3\sqrt{5}$ であるベクトルを求める。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直なベクトル $\vec{n}$ を求める。これは、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積によって得られる。

$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 0 & -2 & 1 \end{vmatrix} = ((-1)(1) - (3)(-2))\vec{i} - ((2)(1) - (3)(0))\vec{j} + ((2)(-2) - (-1)(0))\vec{k} = 5\vec{i} - 2\vec{j} - 4\vec{k} = (5, -2, -4)$$

次に、$\vec{n}$ の大きさを計算する。

$$|\vec{n}| = \sqrt{5^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 4 + 16} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$

$\vec{n}$ の大きさは求めるベクトルの大きさと一致しているので、$\vec{n}$ は条件を満たすベクトルの一つである。もう一つのベクトルは $-\vec{n}$ である。

3. 最終的な答え

求めるベクトルは、$\vec{n} = (5, -2, -4)$ と $-\vec{n} = (-5, 2, 4)$。

最終的な答え： $(5, -2, -4), (-5, 2, 4)$