与えられた円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点Pにおける接線の方程式を求める問題です。 具体的には、次の4つの問題があります。 (1) $x^2 + y^2 = 10$, P(3, 1) (2) $x^2 + y^2 = 13$, P(2, -3) (3) $x^2 + y^2 = 16$, P(4, 0) (4) $x^2 + y^2 = 5$, P(0, $-\sqrt{5}$)

1. 問題の内容

与えられた円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点Pにおける接線の方程式を求める問題です。 具体的には、次の4つの問題があります。

(1) $x^2 + y^2 = 10$, P(3, 1)

(2) $x^2 + y^2 = 13$, P(2, -3)

(3) $x^2 + y^2 = 16$, P(4, 0)

(4) $x^2 + y^2 = 5$, P(0, $-\sqrt{5}$)

2. 解き方の手順

円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は、

$$x_1 x + y_1 y = r^2$$

で与えられます。この公式を使って、それぞれの問題について接線の方程式を求めます。

(1) $x^2 + y^2 = 10$, P(3, 1)

$x_1 = 3$, $y_1 = 1$, $r^2 = 10$ なので、接線の方程式は

$$3x + 1y = 10$$

$$3x + y = 10$$

(2) $x^2 + y^2 = 13$, P(2, -3)

$x_1 = 2$, $y_1 = -3$, $r^2 = 13$ なので、接線の方程式は

$$2x + (-3)y = 13$$

$$2x - 3y = 13$$

(3) $x^2 + y^2 = 16$, P(4, 0)

$x_1 = 4$, $y_1 = 0$, $r^2 = 16$ なので、接線の方程式は

$$4x + 0y = 16$$

$$4x = 16$$

$$x = 4$$

(4) $x^2 + y^2 = 5$, P(0, $-\sqrt{5}$)

$x_1 = 0$, $y_1 = -\sqrt{5}$, $r^2 = 5$ なので、接線の方程式は

$$0x + (-\sqrt{5})y = 5$$

$$-\sqrt{5}y = 5$$

$$y = -\frac{5}{\sqrt{5}}$$

$$y = -\sqrt{5}$$

3. 最終的な答え

(1) $3x + y = 10$

(2) $2x - 3y = 13$

(3) $x = 4$

(4) $y = -\sqrt{5}$