$\triangle OAB$ において、辺 $AB$ を $2:3$ に内分する点を $L$、辺 $OA$ の中点を $M$ とし、線分 $OL$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とするとき、$BP$ と $PM$ の比を求める。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $AB$ を $2:3$ に内分する点を $L$、辺 $OA$ の中点を $M$ とし、線分 $OL$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とするとき、$BP$ と $PM$ の比を求める。

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$ とする。

点 $L$ は辺 $AB$ を $2:3$ に内分するので、

$\vec{OL} = \frac{3\vec{a} + 2\vec{b}}{2+3} = \frac{3}{5}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}$

点 $P$ は線分 $OL$ 上にあるので、$s$ を実数として、

$\vec{OP} = s\vec{OL} = s(\frac{3}{5}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}) = \frac{3s}{5}\vec{a} + \frac{2s}{5}\vec{b}$

点 $P$ は線分 $BM$ 上にもあるので、$t$ を実数として、

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OM} = (1-t)\vec{b} + t\frac{1}{2}\vec{a} = \frac{t}{2}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、係数を比較して、

$\frac{3s}{5} = \frac{t}{2}$

$\frac{2s}{5} = 1-t$

一つ目の式から $t = \frac{6s}{5}$。これを二つ目の式に代入して、

$\frac{2s}{5} = 1 - \frac{6s}{5}$

$2s = 5 - 6s$

$8s = 5$

$s = \frac{5}{8}$

よって、

$\vec{OP} = \frac{3(\frac{5}{8})}{5}\vec{a} + \frac{2(\frac{5}{8})}{5}\vec{b} = \frac{3}{8}\vec{a} + \frac{2}{8}\vec{b}$

$t = \frac{6s}{5} = \frac{6}{5} \times \frac{5}{8} = \frac{3}{4}$

$\vec{OP} = (1-\frac{3}{4})\vec{b} + \frac{3}{4}\vec{OM}$

$\vec{OP} = \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{3}{4}\vec{OM}$

したがって、$BP:PM = 3:1$

3. 最終的な答え

$BP:PM = 3:1$