点A(2, 1)から円 $x^2 + y^2 = 1$ に引いた接線の方程式と接点の座標を求める。

1. 問題の内容

点A(2, 1)から円 $x^2 + y^2 = 1$ に引いた接線の方程式と接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

* 接点を $(x_1, y_1)$ とおく。接点は円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の点なので、

$x_1^2 + y_1^2 = 1$ が成り立つ。

* 円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は、

$x_1x + y_1y = 1$ で表される。

* この接線が点 A(2, 1) を通るので、

$2x_1 + y_1 = 1$ が成り立つ。

* ここで $y_1 = 1 - 2x_1$ を $x_1^2 + y_1^2 = 1$ に代入すると、

$x_1^2 + (1 - 2x_1)^2 = 1$

$x_1^2 + 1 - 4x_1 + 4x_1^2 = 1$

$5x_1^2 - 4x_1 = 0$

$x_1(5x_1 - 4) = 0$

よって、$x_1 = 0$ または $x_1 = \frac{4}{5}$

* $x_1 = 0$ のとき、$y_1 = 1 - 2x_1 = 1 - 2(0) = 1$

このとき、接線の方程式は $0 \cdot x + 1 \cdot y = 1$ より $y = 1$

接点の座標は (0, 1)

* $x_1 = \frac{4}{5}$ のとき、$y_1 = 1 - 2x_1 = 1 - 2(\frac{4}{5}) = 1 - \frac{8}{5} = -\frac{3}{5}$

このとき、接線の方程式は $\frac{4}{5}x - \frac{3}{5}y = 1$ より $4x - 3y = 5$

接点の座標は $(\frac{4}{5}, -\frac{3}{5})$

3. 最終的な答え

接線の方程式は $y = 1$ と $4x - 3y = 5$

接点の座標は $(0, 1)$ と $(\frac{4}{5}, -\frac{3}{5})$