3点 $A(-1+i)$, $B(1-i)$, $C(-\sqrt{3}-\sqrt{3}i)$ を頂点とする三角形 $ABC$ はどのような三角形か。

1. 問題の内容

3点 $A(-1+i)$, $B(1-i)$, $C(-\sqrt{3}-\sqrt{3}i)$ を頂点とする三角形 $ABC$ はどのような三角形か。

2. 解き方の手順

三角形がどのような種類かを判断するためには、各辺の長さを計算し、角度を調べる必要があります。

まず、$AB$, $BC$, $CA$ の長さを求めます。複素平面上の2点間の距離は、複素数の差の絶対値で求められます。

$AB = |(-1+i)-(1-i)| = |-2+2i| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$BC = |(1-i)-(-\sqrt{3}-\sqrt{3}i)| = |1+\sqrt{3}+(-1+\sqrt{3})i| = \sqrt{(1+\sqrt{3})^2 + (-1+\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+2\sqrt{3}+3+1-2\sqrt{3}+3} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$CA = |(-\sqrt{3}-\sqrt{3}i)-(-1+i)| = |-\sqrt{3}+1+(-\sqrt{3}-1)i| = \sqrt{(-\sqrt{3}+1)^2 + (-\sqrt{3}-1)^2} = \sqrt{3-2\sqrt{3}+1+3+2\sqrt{3}+1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$AB = BC = CA = 2\sqrt{2}$ なので、三角形 $ABC$ は正三角形です。

3. 最終的な答え

正三角形