中心が $(4, 4)$ で、円 $x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0$ と外接する円の方程式を求める。

1. 問題の内容

中心が $(4, 4)$ で、円 $x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0$ と外接する円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた円 $x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0$ の中心と半径を求める。

平方完成を行う。

$x^2 - 2x + y^2 = 3$

$(x - 1)^2 - 1 + y^2 = 3$

$(x - 1)^2 + y^2 = 4$

この円の中心は $(1, 0)$ であり、半径は $r_1 = \sqrt{4} = 2$ である。

求める円の中心は $(4, 4)$ である。求める円の半径を $r_2$ とする。

2つの円が外接するとき、中心間の距離は半径の和に等しい。

中心間の距離 $d$ は

$d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

したがって、$r_1 + r_2 = d$ であるから、

$2 + r_2 = 5$

$r_2 = 5 - 2 = 3$

求める円の方程式は、中心 $(4, 4)$、半径 $r_2 = 3$ なので、

$(x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 3^2$

$(x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 9$

3. 最終的な答え

$(x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 9$