直線 $l: x - 2y + 1 = 0$ と点 $P(2, -1)$ が与えられている。 (1) 直線 $l$ の法線ベクトルを1つ求める。 (2) 点 $P$ を通り $l$ に直交する直線を $l_1$ とするとき、$l_1$ の媒介変数表示による方程式を求める。 (3) $l$ と $l_1$ の交点の座標を求める。

1. 問題の内容

直線 $l: x - 2y + 1 = 0$ と点 $P(2, -1)$ が与えられている。

(1) 直線 $l$ の法線ベクトルを1つ求める。

(2) 点 $P$ を通り $l$ に直交する直線を $l_1$ とするとき、$l_1$ の媒介変数表示による方程式を求める。

(3) $l$ と $l_1$ の交点の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l: x - 2y + 1 = 0$ の法線ベクトルは、直線の係数から直接求めることができる。一般に、直線 $ax + by + c = 0$ の法線ベクトルは $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ である。

(2) 点 $P(2, -1)$ を通り、直線 $l$ に直交する直線 $l_1$ を考える。直線 $l$ の方向ベクトルは $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$である。

したがって、$l_1$ の媒介変数表示は、パラメータ $t$ を用いて次のように表される。

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

つまり、$x = 2 + 2t$, $y = -1 + t$

(3) $l$ と $l_1$ の交点の座標を求める。

$l: x - 2y + 1 = 0$ と $l_1: x = 2 + 2t, y = -1 + t$ を連立させる。

$x - 2y + 1 = (2 + 2t) - 2(-1 + t) + 1 = 2 + 2t + 2 - 2t + 1 = 5 = 0$。この連立方程式には解が存在しない。

しかし、lの方向ベクトルは(2,1)なので、点Pを通りlに直交する直線は、lの法線ベクトル(1,-2)を方向ベクトルとして持つ。

したがって、$l_1$ の媒介変数表示は、パラメータ $t$ を用いて次のように表される。

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

つまり、$x = 2 + t$, $y = -1 - 2t$

$l: x - 2y + 1 = 0$ と $l_1: x = 2 + t, y = -1 - 2t$ を連立させる。

$(2+t) - 2(-1-2t) + 1 = 0$

$2 + t + 2 + 4t + 1 = 0$

$5t + 5 = 0$

$t = -1$

$x = 2 + (-1) = 1$

$y = -1 - 2(-1) = -1 + 2 = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

(2) $x = 2 + t, y = -1 - 2t$

(3) $(1, 1)$