次の2つの円の位置関係を調べる問題です。 (1) $x^2 + y^2 = 9$, $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 36$ (2) $(x-3)^2 + y^2 = 4$, $x^2 + y^2 -2x + 4y + 4 = 0$ (3) $x^2 + y^2 + 2x - 8y - 73 = 0$, $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 35 = 0$

1. 問題の内容

次の2つの円の位置関係を調べる問題です。

(1) $x^2 + y^2 = 9$, $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 36$

(2) $(x-3)^2 + y^2 = 4$, $x^2 + y^2 -2x + 4y + 4 = 0$

(3) $x^2 + y^2 + 2x - 8y - 73 = 0$, $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 35 = 0$

2. 解き方の手順

円の位置関係を調べるには、それぞれの円の中心座標と半径を求め、中心間の距離 $d$ と半径の和 $r_1 + r_2$、半径の差 $|r_1 - r_2|$ を比較します。

(1)

円1: $x^2 + y^2 = 9$ は、中心 $(0,0)$、半径 $r_1 = 3$ です。

円2: $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 36$ は、中心 $(1,2)$、半径 $r_2 = 6$ です。

中心間の距離 $d$ は、$d = \sqrt{(1-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$ です。

$r_1 + r_2 = 3 + 6 = 9$

$|r_1 - r_2| = |3 - 6| = 3$

$d = \sqrt{5} < 3 = |r_1 - r_2|$ なので、一方の円が他方の円の内部にあります。

(2)

円1: $(x-3)^2 + y^2 = 4$ は、中心 $(3,0)$、半径 $r_1 = 2$ です。

円2: $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 4 = 0$ を変形します。

$(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) + 4 = 0$

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) + 4 - 1 - 4 = 0$

$(x-1)^2 + (y+2)^2 = 1$

円2は、中心 $(1,-2)$、半径 $r_2 = 1$ です。

中心間の距離 $d$ は、$d = \sqrt{(3-1)^2 + (0-(-2))^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ です。

$r_1 + r_2 = 2 + 1 = 3$

$|r_1 - r_2| = |2 - 1| = 1$

$|r_1 - r_2| = 1 < d = 2\sqrt{2} < r_1 + r_2 = 3$ なので、2つの円は2点で交わります。

(3)

円1: $x^2 + y^2 + 2x - 8y - 73 = 0$ を変形します。

$(x^2 + 2x) + (y^2 - 8y) - 73 = 0$

$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 8y + 16) - 73 - 1 - 16 = 0$

$(x+1)^2 + (y-4)^2 = 90$

円1は、中心 $(-1,4)$、半径 $r_1 = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$ です。

円2: $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 35 = 0$ を変形します。

$(x^2 + 4x) + (y^2 - 2y) - 35 = 0$

$(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) - 35 - 4 - 1 = 0$

$(x+2)^2 + (y-1)^2 = 40$

円2は、中心 $(-2,1)$、半径 $r_2 = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ です。

中心間の距離 $d$ は、$d = \sqrt{(-1-(-2))^2 + (4-1)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$ です。

$r_1 + r_2 = 3\sqrt{10} + 2\sqrt{10} = 5\sqrt{10}$

$|r_1 - r_2| = |3\sqrt{10} - 2\sqrt{10}| = \sqrt{10}$

$d = \sqrt{10} = |r_1 - r_2|$ なので、2つの円は内接します。

3. 最終的な答え

(1) 一方の円が他方の円の内部にある

(2) 2点で交わる

(3) 内接する