2つの直線が与えられたとき、それらのなす角 $\theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$) を求める問題です。 (1) $y = -3x$ と $y = 2x$ のなす角を求める。 (2) $y = x$ と $y = (2 + \sqrt{3})x$ のなす角を求める。

1. 問題の内容

2つの直線が与えられたとき、それらのなす角 $\theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$) を求める問題です。

(1) $y = -3x$ と $y = 2x$ のなす角を求める。

(2) $y = x$ と $y = (2 + \sqrt{3})x$ のなす角を求める。

2. 解き方の手順

2直線のなす角を求めるには、それぞれの直線の傾きからtanの値を用いて計算します。

直線の傾きを $m_1, m_2$ とすると、2直線のなす角 $\theta$ に対し、

$\tan{\theta} = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ が成り立ちます。

今回は$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$という条件があるため、$\tan \theta > 0$となります。

(1) $y = -3x$ と $y = 2x$ のなす角を求める。

傾きはそれぞれ $m_1 = -3, m_2 = 2$ であるから、

$\tan{\theta} = \left| \frac{-3 - 2}{1 + (-3)(2)} \right| = \left| \frac{-5}{1 - 6} \right| = \left| \frac{-5}{-5} \right| = 1$

よって、$\theta = \frac{\pi}{4}$

(2) $y = x$ と $y = (2 + \sqrt{3})x$ のなす角を求める。

傾きはそれぞれ $m_1 = 1, m_2 = 2 + \sqrt{3}$ であるから、

$\tan{\theta} = \left| \frac{1 - (2 + \sqrt{3})}{1 + (1)(2 + \sqrt{3})} \right| = \left| \frac{-1 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \right| = \left| \frac{(-1 - \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})} \right|$

$= \left| \frac{-3 + \sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 3}{9 - 3} \right| = \left| \frac{-2\sqrt{3}}{6} \right| = \left| \frac{-\sqrt{3}}{3} \right| = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

よって、$\theta = \frac{\pi}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{4}$

(2) $\theta = \frac{\pi}{6}$