右図において、直線PTは円Oの接線で、Tは接点である。PA=4, PC=5, CD=3のとき、線分PTの長さと円Oの半径を求めよ。

1. 問題の内容

右図において、直線PTは円Oの接線で、Tは接点である。PA=4, PC=5, CD=3のとき、線分PTの長さと円Oの半径を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、方べきの定理を用いて線分PTの長さを求める。

方べきの定理より、$PT^2 = PA \cdot PB$ が成り立つ。

$PB = PC + CB$ であり、$CB$ は円の直径なので、$CB = CD + DB = CD + PC = 3 + 5 = 8$ である。

したがって、$PB = PC + CB = 5 + 8 = 13$ である。

よって、$PT^2 = PA \cdot PB = 4 \cdot 13 = 52$ となる。

$PT = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$ となる。

次に、円Oの半径を求める。

$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ という性質を使う。

$PA = 4$、 $PB = 13$、 $PC = 5$ なので、$4 \cdot 13 = 5 \cdot PD$ となる。

$PD = \frac{52}{5}$ である。

$CD = PD - PC = \frac{52}{5} - 5 = \frac{52 - 25}{5} = \frac{27}{5}$ である。しかし、CD = 3と問題文に書いてあるので、これは間違いである。

正しくは、以下のように計算する。

円の半径を $r$ とする。

$PB = PA + AB$ で、$AB = 2r$ なので、$PB = 4 + 2r$ となる。

方べきの定理より、$PT^2 = PA \cdot PB = 4(4 + 2r) = 16 + 8r$ が成り立つ。

$PT^2 = 52$ だったので、$16 + 8r = 52$ となる。

$8r = 52 - 16 = 36$

$r = \frac{36}{8} = \frac{9}{2} = 4.5$ となる。

3. 最終的な答え

線分PTの長さは $2\sqrt{13}$

円Oの半径は $\frac{9}{2}$