$\| \vec{a} \| = 3$, $\| \vec{b} \| = 2$, $\| \vec{a} - 2\vec{b} \| = \sqrt{37}$ であるとき、以下の問いに答える。 (1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めよ。 (2) 2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

## 数学の問題の解答

以下に、画像に写っている数学の問題の解答を示します。今回は特に9番の問題を解きます。

1. 問題の内容

$\| \vec{a} \| = 3$, $\| \vec{b} \| = 2$, $\| \vec{a} - 2\vec{b} \| = \sqrt{37}$ であるとき、以下の問いに答える。

(1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めよ。

(2) 2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の計算

まず、$\| \vec{a} - 2\vec{b} \|^2$ を計算する。

$\| \vec{a} - 2\vec{b} \|^2 = (\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 4 (\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4(\vec{b} \cdot \vec{b}) = \| \vec{a} \|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4 \| \vec{b} \|^2$

問題文より、$\| \vec{a} - 2\vec{b} \| = \sqrt{37}$ なので、$\| \vec{a} - 2\vec{b} \|^2 = 37$。

また、$\| \vec{a} \| = 3$, $\| \vec{b} \| = 2$ なので、

$37 = 3^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4(2^2) = 9 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 16 = 25 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b})$

これを解くと、

$4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 25 - 37 = -12$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$

(2) ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ の計算

内積の定義より、$\vec{a} \cdot \vec{b} = \| \vec{a} \| \| \vec{b} \| \cos \theta$ である。

(1)より、$\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$。また、$\| \vec{a} \| = 3$, $\| \vec{b} \| = 2$ なので、

$-3 = 3 \cdot 2 \cdot \cos \theta = 6 \cos \theta$

$\cos \theta = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$

よって、$\theta = \frac{2}{3}\pi$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$

(2) $\theta = \frac{2}{3}\pi$