三角形ABCにおいて、$AB=5$, $BC=3$, $\cos{\angle ABC}=\frac{1}{3}$である。この三角形の外接円をKとする。 (1) $\sin{\angle ABC}$の値を求める。 (2) 辺CAの長さを求め、外接円Kの半径を求める。 (3) KのBを含まない方の弧CA上に、点Dを線分CD, DAの長さが$3CD=DA$を満たすようにとる。線分CDの長さを求め、三角形CDAの面積を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=5$, $BC=3$, $\cos{\angle ABC}=\frac{1}{3}$である。この三角形の外接円をKとする。

(1) $\sin{\angle ABC}$の値を求める。

(2) 辺CAの長さを求め、外接円Kの半径を求める。

(3) KのBを含まない方の弧CA上に、点Dを線分CD, DAの長さが$3CD=DA$を満たすようにとる。線分CDの長さを求め、三角形CDAの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sin{\angle ABC}$の値を求める。

$\sin^2{\angle ABC} + \cos^2{\angle ABC} = 1$より、

$\sin^2{\angle ABC} = 1 - \cos^2{\angle ABC} = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\sin{\angle ABC} = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\angle ABC$は三角形の内角なので、$\sin{\angle ABC} > 0$

$\sin{\angle ABC} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

(2) 辺CAの長さを求め、外接円Kの半径を求める。

余弦定理より、

$CA^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC} = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3} = 25 + 9 - 10 = 24$

$CA = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

正弦定理より、$\frac{CA}{\sin{\angle ABC}} = 2R$

$2R = \frac{2\sqrt{6}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{2\sqrt{6} \cdot 3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{3}$

$R = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

(3) KのBを含まない方の弧CA上に、点Dを線分CD, DAの長さが$3CD=DA$を満たすようにとる。線分CDの長さを求め、三角形CDAの面積を求める。

$DA = 3CD$なので、$CD = x$とおくと、$DA = 3x$となる。

円周角の定理より、$\angle CAD = \angle CBD$、$\angle ACD = \angle ABD$。

$DA = 3CD$より、円周角の定理より、$\angle DCA = \theta$とおくと、$\angle DAC = 3\theta$となる。

三角形の内角の和は$\pi$なので、$\theta + 3\theta + \angle CDA = \pi$。

$\angle CBA = B$とおくと、$\angle CDA = \pi - B$。

四角形ABCDは円に内接するので、$\angle CDA + \angle ABC = \pi$。

$\angle CDA = \pi - \angle ABC$

$\cos{\angle CDA} = \cos{(\pi - \angle ABC)} = - \cos{\angle ABC} = -\frac{1}{3}$

三角形CDAに余弦定理を使うと、

$CA^2 = CD^2 + DA^2 - 2 \cdot CD \cdot DA \cdot \cos{\angle CDA}$

$(2\sqrt{6})^2 = x^2 + (3x)^2 - 2 \cdot x \cdot 3x \cdot (-\frac{1}{3})$

$24 = x^2 + 9x^2 + 2x^2 = 12x^2$

$x^2 = 2$

$x = \sqrt{2}$

$CD = \sqrt{2}$

$DA = 3\sqrt{2}$

三角形CDAの面積は、$S = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot DA \cdot \sin{\angle CDA} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sin{(\pi - B)} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sin{B} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin{\angle ABC} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

(2) $CA = 2\sqrt{6}$, $R = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

(3) $CD = \sqrt{2}$, $S = 2\sqrt{2}$