右図において、直線 PT は円 O の接線で、T は接点である。PA = 4, PC = 5, CD = 3 のとき、線分 PT の長さと円 O の半径を求めよ。

1. 問題の内容

右図において、直線 PT は円 O の接線で、T は接点である。PA = 4, PC = 5, CD = 3 のとき、線分 PT の長さと円 O の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、PT の長さを求める。方べきの定理より、$PT^2 = PA \cdot PB$。

PB = PA + AB である。また、AB は円の直径なので、AB = AC + CB = AC + CD = 5 + 3 = 8 (CB = CD)。

したがって、PB = 4 + 8 = 12。

$PT^2 = 4 \cdot 12 = 48$ より、PT = $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$。

次に、円 O の半径を求める。円の半径を r とすると、円の中心から接点 T までの距離は r である。

$AB=8$ なので、$AC = 5$ より $BC = 3$。 よって、円の直径は8なので半径は4。

3. 最終的な答え

線分 PT の長さは $4\sqrt{3}$。

円 O の半径は 4。