加法定理を用いて、$\cos \frac{7\pi}{12}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

加法定理を用いて、$\cos \frac{7\pi}{12}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\frac{7\pi}{12}$ を既知の角度の和または差で表します。今回は $\frac{7\pi}{12} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}$ と分解します。

次に、$\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ の加法定理を用います。

$\alpha = \frac{\pi}{3}$, $\beta = \frac{\pi}{4}$ とすると、

$\cos \frac{7\pi}{12} = \cos (\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4}$

$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、

$\cos \frac{7\pi}{12} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

3. 最終的な答え

$\cos \frac{7\pi}{12} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$