三角形ABCにおいて、辺BC上に点Hがあり、線分AHと辺BCは垂直である。$AB = \sqrt{13}$, $AH = 3$, $BC = 7$ のとき、$\sin B$ と $\cos C$ の値を求めよ。

## 問題1

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BC上に点Hがあり、線分AHと辺BCは垂直である。$AB = \sqrt{13}$, $AH = 3$, $BC = 7$ のとき、$\sin B$ と $\cos C$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\sin B$ を求める。

- 直角三角形 ABH において、三平方の定理より $BH^2 + AH^2 = AB^2$。

- よって $BH^2 = (\sqrt{13})^2 - 3^2 = 13 - 9 = 4$。

- $BH = 2$ (BH>0より)。

- $\sin B = \frac{AH}{AB} = \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{13}}{13}$

(2) $\cos C$ を求める。

- 直角三角形 AHC において、$HC = BC - BH = 7 - 2 = 5$。

- 三平方の定理より、$AC^2 = AH^2 + HC^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$。

- よって、$AC = \sqrt{34}$。

- $\cos C = \frac{HC}{AC} = \frac{5}{\sqrt{34}} = \frac{5\sqrt{34}}{34}$

3. 最終的な答え

$\sin B = \frac{3\sqrt{13}}{13}$

$\cos C = \frac{5\sqrt{34}}{34}$

## 問題2

1. 問題の内容

傾斜が $30^\circ$ で一定の坂の頂上に塔が立っている。坂のふもとからこの塔の先を見ると、水平面に対して $45^\circ$ の角度に見えた。坂を斜面に沿って塔に向かって 30m 進んだ A 点から再び塔の先を見ると、水平面に対して $60^\circ$ の角度に見えた。

(1) A点から坂の頂上まで、斜面に沿ってさらに何 m あるか。

(2) 塔そのものの高さは何 m であるか。

(3) 塔の先と坂のふもとの高低差は何 m であるか。

2. 解き方の手順

図を描いて考える。坂のふもとを B、坂の頂上を C、塔の先端を D とする。A は坂の途中の点。

$\angle ABX = 45^\circ$ （Xは水平な線）

$\angle ADY = 60^\circ$ （Yは水平な線）

$\angle ABC = 30^\circ$

(1) A点から坂の頂上まで、斜面に沿ってさらに何 m あるか。

AC = x と置く。

$\angle BAD = 60^\circ - 45^\circ = 15^\circ$

$\angle ABD = 45^\circ - 30^\circ = 15^\circ$

よって、三角形ABDは二等辺三角形となり、$AD = BD = 30 + x$。

三角形ADCを考える。$\angle ADC = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ$。

$AD \sin 60^\circ = x$

$(30+x) \sin 15^\circ = x$

$AD = \frac{x}{\sin 60^\circ}$

$30 + x = \frac{x}{\sin 15^\circ}$ より、

$x (\frac{1}{\sin 15^\circ} - 1) = 30$

$x = \frac{30 \sin 15^\circ}{1-\sin 15^\circ}$

$\sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$x = \frac{30 \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{1 - \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}} = \frac{30(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4-\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

有理化すると

$x = 15\sqrt{3}$

(2) 塔の高さを求める。

$CD = AD \cos 60^\circ = (30+x) \cos 60^\circ = \frac{30+x}{2}$

$CD = \frac{30+15\sqrt{3}}{2} = 15 + \frac{15\sqrt{3}}{2}$

(3) 塔の先と坂のふもとの高低差を求める。

$BD \sin 45^\circ + CD \sin 90^\circ = (30+x)\sin 45 +CD$

$(30 + 15\sqrt{3})\frac{\sqrt{2}}{2} + 15 + \frac{15\sqrt{3}}{2}$

$15\sqrt{2} + \frac{15\sqrt{6}}{2} + 15+\frac{15\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $15\sqrt{3}$ m

(2) $15 + \frac{15\sqrt{3}}{2}$ m

(3) $15\sqrt{2} + \frac{15\sqrt{6}}{2} + 15+\frac{15\sqrt{3}}{2}$ m