右図において、直線PTは円Oの接線であり、Tは接点である。PA = 4, PC = 5, CD = 3であるとき、線分PTの長さと円Oの半径を求める。

1. 問題の内容

右図において、直線PTは円Oの接線であり、Tは接点である。PA = 4, PC = 5, CD = 3であるとき、線分PTの長さと円Oの半径を求める。

2. 解き方の手順

まず、方べきの定理より、$PT^2 = PA \cdot PB$ である。

PB = PC + CB = PC + CD = 5 + 3 = 8 であるから、$PT^2 = 4 \cdot 8 = 32$。したがって、$PT = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$。

次に、円Oの半径を求める。円Oの中心をOとすると、OC = OD = r (半径) である。また、PC = 5, CD = 3なので、OD = OC = r とすると、$OC = r$ より、$PC = 5$。

$PO = PC + CO = 5+r$ となる。また、$PT$は円の接線なので、$OT \perp PT$である。したがって、三角形PTOは直角三角形である。三平方の定理より、$PO^2 = PT^2 + OT^2$ である。

$OT = r$ なので、$PO^2 = PT^2 + r^2$ となる。

よって、$(5+r)^2 = (4\sqrt{2})^2 + r^2$

$25 + 10r + r^2 = 32 + r^2$

$10r = 32 - 25 = 7$

$r = \frac{7}{10} = 0.7$

3. 最終的な答え

線分PTの長さは $4\sqrt{2}$ であり、円Oの半径は $\frac{7}{10}$ である。

ア: $4\sqrt{2}$

イ: $\frac{7}{10}$